log{(1+x^2)/x^2}x/(1+x^2)[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{1+x^2}\log \left(\frac{1+x^2}{x^2}\right)dx=π \log 2\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x}{1+x^2}\log \left(\frac{1+x^2}{x^2}\right)dx=\frac{π^2}{12}\\
&(3) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^2}{1+x^2}\log \left(\frac{1+x^2}{x^2}\right)dx=π(1- \log 2)\\
\end{alignat}







<証明>

\((1)\) \(\log\) を差で表します。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{1+x^2}\log \left(\frac{1+x^2}{x^2}\right)dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log (1+x^2)- \log x^2}{1+x^2}dx\\
&                       =\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log (1+x^2)}{1+x^2}dx-2\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log x}{1+x^2}dx\\
\end{alignat}ここで次の積分の結果を用います。(詳細はこちらです。Aの積分Bの積分)
\begin{alignat}{2}
&(A) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{ \log (1+x^2)}{1+x^2}dx=π \log 2\\
&(B) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{ \log x}{x^2+1}dx=0
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{1+x^2}\log \left(\frac{1+x^2}{x^2}\right)dx=π \log 2$$






\((2)\) 部分積分を行います。
\begin{alignat}{2}
& \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x}{1+x^2}\log \left(\frac{1+x^2}{x^2}\right)dx\\
&=\left[\frac{1}{2}\log (1+x^2) \log \left(\frac{1+x^2}{x^2}\right)\right]_0^{\infty} -\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{2}\log (1+x^2) \{\log (1+x^2)-\log x^2\}’dx\\
&=-\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \log (1+x^2)\left(\frac{2x}{1+x^2}-\frac{2}{x}\right)dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \log (1+x^2)\left(\frac{1}{x}-\frac{x}{1+x^2}\right)dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log (1+x^2)}{x(1+x^2)}dx\\
\end{alignat}\(\log (1+x^2)=t\) と置きます。\((1+x^2=e^t, 2xdx=e^tdt)\)$$=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t}{xe^t} \cdot \frac{e^t}{2x}dt=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t}{e^t-1}dt=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{te^{-t}}{1-e^{-t}}dt$$被積分関数の一部を級数で表してから積分します。
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} te^{-t}(1+e^{-t}+e^{-2t}+ \cdots )dt\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\infty} te^{-t}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} e^{-nt}dt\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\displaystyle\int_0^{\infty}te^{-(n+1)t}dt\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left\{\left[-\frac{e^{-(n+1)t}}{n+1}\right]_0^{\infty}+\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-(n+1)t}}{n+1}dt\right\}\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1} \displaystyle\int_0^{\infty} e^{-(n+1)t}dt\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1}\left[-\frac{e^{-(n+1)t}}{n+1}\right]_0^{\infty}\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^2}=\frac{1}{2} \cdot \frac{π^2}{6}=\frac{π^2}{12}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x}{1+x^2}\log \left(\frac{1+x^2}{x^2}\right)dx=\frac{π^2}{12}$$







\((3)\) \(\displaystyle \frac{x^2}{1+x^2}=1-\frac{1}{1+x^2}\) として、積分を切り離します。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^2}{1+x^2}\log \left(\frac{1+x^2}{x^2}\right)dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \left(1-\frac{1}{1+x^2}\right)\log \left(\frac{1+x^2}{x^2}\right)dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \log \left(\frac{1+x^2}{x^2}\right)dx-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{1+x^2}\log \left(\frac{1+x^2}{x^2}\right)dx\\
\end{alignat}右の積分は \((1)\) の結果を用いると$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{1+x^2}\log \left(\frac{1+x^2}{x^2}\right)dx=π \log 2$$左の積分を計算します。部分積分を行います。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \log \left(\frac{1+x^2}{x^2}\right)dx=\left[x \log \left(\frac{1+x^2}{x^2}\right)\right]_0^{\infty} -\displaystyle\int_0^{\infty} x \{\log(1+x^2)- \log x^2\}’dx\\
&                 =-\displaystyle\int_0^{\infty} x\left(\frac{2x}{1+x^2}-\frac{2}{x}\right)dx=2\displaystyle\int_0^{\infty} \left( 1-\frac{x^2}{1+x^2}\right)dx\\
&                 =2 \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{1+x^2}dx=2 \cdot \frac{π}{2}=π
\end{alignat}よって$$=\displaystyle\int_0^{\infty} \log \left(\frac{1+x^2}{x^2}\right)dx-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{1+x^2}\log \left(\frac{1+x^2}{x^2}\right)dx=π-π\log 2=π(1- \log 2)$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^2}{1+x^2}\log \left(\frac{1+x^2}{x^2}\right)dx=π(1- \log 2)$$

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