log(a^2-2abcosx+b^2)の級数展開

\begin{alignat}{2}
\log (a^2-2ab \cos x+b^2)=
\begin{cases}
\displaystyle 2\log a-2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{b}{a}\right)^n\frac{\cos nx}{n}  (a \gt b)\\
\displaystyle 2\log b-2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{a}{b}\right)^n\frac{\cos nx}{n}  (a \lt b)
\end{cases}
\end{alignat}ただし \(a,b \gt 0\)










<証明>

\((A)\) \(a \gt b\) のとき

\(\log \) の真数を因数分解をしてから \(\log\) を切り離し、級数にします。
\begin{alignat}{2}
&  \log (a^2-2ab \cos x+b^2)\\
&=\log \{a^2-ab(e^{ix}+e^{-ix})+b^2\}\\
&=\log (a^2-abe^{ix}-abe^{-ix}+b^2)\\
&=\log (a-be^{ix})+\log (a-be^{-ix})\\
&=\log a^2\left(1-\frac{b}{a}e^{ix}\right)\left(1-\frac{b}{a}e^{-ix}\right)\\
&=2\log a+\log\left(1-\frac{b}{a}e^{ix}\right)+\log\left(1-\frac{b}{a}e^{-ix}\right)
\end{alignat}\(\displaystyle \left|\frac{b}{a}e^{\pm ix}\right|=\frac{b}{a} \lt 1\) であるので、級数で表します。
\begin{alignat}{2}
&=2\log a-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\left(\frac{b}{a}e^{ix}\right)^n-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\left(\frac{b}{a}e^{-ix}\right)^n\\
&=2\log a-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\left(\frac{b}{a}\right)^n(e^{inx}+e^{-inx})\\
&=\displaystyle 2\log a-2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{b}{a}\right)^n\frac{\cos nx}{n}
\end{alignat}
以上より$$\log (a^2-2ab \cos x+b^2)=\displaystyle 2\log a-2\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{b}{a}\right)^n\frac{\cos nx}{n}  (a \gt b )$$




\((B)\) \(a \lt b\) のときは、前の証明において \(a\) と \(b\) を取り替えるだけなので、省略します。








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