log(a^2+b^2tan^2x)[0,π]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\log (a^2+b^2 \tan^2 x)dx=π\log (a+b)\\
&(2) \displaystyle\int_0^π \log (a^2+b^2 \tan^2 x)dx=2π\log (a+b)\\
\end{alignat}ただし、全て \(a,b \gt 0\)










<証明>

途中、次の定積分の結果を用いています。[詳細はこちらです。(A)(B)(C)(D)]
\begin{alignat}{2}
&(A) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (a^2 \cos^2x+b^2 \sin^2 x)dx=π\log \frac{a+b}{2}\\
&(B) \displaystyle\int_0^π \log (a^2 \cos^2x+b^2 \sin^2 x)dx=2π\log \frac{a+b}{2}\\
&(C) \displaystyle\int_0^π \log ( 1+\sin x) dx=-π \log 2 +4G\\
&(D) \displaystyle\int_0^π \log ( 1- \sin x) dx=-π \log 2 -4G\\
\end{alignat}





\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\log (a^2+b^2 \tan^2 x)dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\log \frac{a^2\cos^2 x +b^2 \sin^2 x}{\cos^2 x}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (a^2 \cos^2x+b^2 \sin^2 x)dx-2\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\log (\cos x)dx\\
&=π \log \frac{a+b}{2}+π\log 2=π\log (a+b)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\log (a^2+b^2 \tan^2 x)dx=π\log (a+b)$$







\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^π\log (a^2+b^2 \tan^2 x)dx\\
&=\displaystyle\int_0^π\log \frac{a^2\cos^2 x +b^2 \sin^2 x}{\cos^2 x}dx\\
&=\displaystyle\int_0^π \log (a^2 \cos^2x+b^2 \sin^2 x)dx-\displaystyle\int_0^π \log (\cos^2 x)dx\\
\end{alignat}右の積分について
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^π \log (\cos^2 x)dx=\displaystyle\int_0^π \log (1-\sin^2 x)dx=\displaystyle\int_0^π \log (1-\sin x)(1+\sin x)dx\\
&               =\displaystyle\int_0^π \log (1-\sin x)dx+\displaystyle\int_0^π \log (1+\sin x)dx\\
&               =-π\log 2-4G-π\log 2+4G=-2π\log 2\\
\end{alignat}
となるので、元の積分計算は$$=2π\log \frac{a+b}{2}+2π\log 2=2π\log (a+b)$$以上より$$\displaystyle\int_0^π \log (a^2+b^2 \tan^2 x)dx=2π\log (a+b)$$

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