log(a^2+b^2x^2)/(c^2+g^2x^2)^2[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log (a^2+b^2x^2)}{(c^2+g^2x^2)^2}dx=\frac{π}{2c^3g} \left(\log \frac{ag+bc}{g}-\frac{bc}{ag+bc}\right)\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^2\log (a^2+b^2x^2)}{(c^2+g^2x^2)^2}dx=\frac{π}{2cg^3} \left(\log \frac{ag+bc}{g}+\frac{bc}{ag+bc}\right)\\
&(3)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log (a^2+b^2x^2)}{(c^2-g^2x^2)^2}dx=\frac{π}{2c^3g} \left(\frac{abcg}{a^2g^2+b^2c^2}-\tan^{-1} \frac{bc}{ag}\right)\\
&(4)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^2\log (a^2+b^2x^2)}{(c^2-g^2x^2)^2}dx=\frac{π}{2cg^3} \left(\frac{abcg}{a^2g^2+b^2c^2}+\tan^{-1} \frac{bc}{ag}\right)\\
\end{alignat}ただし、全て \(a,b,c,g \gt 0\)













<証明>

次の定積分の結果を用います。(詳細はこちらです)
\begin{alignat}{2}
&(A)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log (a^2+b^2x^2)}{c^2+g^2x^2}dx=\frac{π}{cg}\log \frac{ag+bc}{g}\\
&(B)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log (a^2+b^2x^2)}{c^2-g^2x^2}dx=-\frac{π}{cg}\tan^{-1} \frac{bc}{ag}\\
\end{alignat}ただし、全て \(a,b,c,g \gt 0\)





\((1)\) \((A)\) の式の両辺を \(c\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
\frac{d}{dc}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log (a^2+b^2x^2)}{c^2+g^2x^2}dx&=\frac{π}{g} \cdot \frac{d}{dc}\frac{\log \frac{ag+bc}{g}}{c}\\
\displaystyle\int_0^{\infty} \log (a^2+b^2x^2) \cdot \frac{-2c}{(c^2+g^2x^2)^2}dx&=\frac{π}{g} \cdot \frac{\frac{g \cdot \frac{b}{g}}{ag+bc} \cdot c-\log \frac{ag+bc}{g}}{c^2}\\
-2c\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log (a^2+b^2x^2)}{(c^2+g^2x^2)^2}dx&=-\frac{π}{c^2g} \left(\log \frac{ag+bc}{g}-\frac{bc}{ag+bc}\right)
\end{alignat}両辺を \(-2c\) で割ります。以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log (a^2+b^2x^2)}{(c^2+g^2x^2)^2}dx=\frac{π}{2c^3g} \left(\log \frac{ag+bc}{g}-\frac{bc}{ag+bc}\right)$$








\((2)\) \((A)\) の式の両辺を \(g\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
\frac{d}{dg}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log (a^2+b^2x^2)}{c^2+g^2x^2}dx&=\frac{π}{c} \cdot \frac{d}{dg}\frac{\log \frac{ag+bc}{g}}{g}\\
\displaystyle\int_0^{\infty} \log (a^2+b^2x^2) \cdot \frac{-2gx^2}{(c^2+g^2x^2)^2}dx&=\frac{π}{c} \cdot \frac{\frac{g \cdot \left(-\frac{bc}{g^2}\right)}{ag+bc} \cdot g-\log \frac{ag+bc}{g}}{g^2}\\
-2g\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^2\log (a^2+b^2x^2)}{(c^2+g^2x^2)^2}dx&=-\frac{π}{cg^2} \left(\log \frac{ag+bc}{g}+\frac{bc}{ag+bc}\right)
\end{alignat}両辺を \(-2g\) で割ります。以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^2\log (a^2+b^2x^2)}{(c^2+g^2x^2)^2}dx=\frac{π}{2cg^3} \left(\log \frac{ag+bc}{g}+\frac{bc}{ag+bc}\right)$$









\((3)\) \((B)\) の式の両辺を \(c\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
\frac{d}{dc}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log (a^2+b^2x^2)}{c^2-g^2x^2}dx&=-\frac{π}{g} \cdot \frac{d}{dc}\frac{\tan^{-1} \frac{bc}{ag}}{c}\\
\displaystyle\int_0^{\infty} \log (a^2+b^2x^2) \cdot \frac{-2c}{(c^2-g^2x^2)^2}dx&=-\frac{π}{g} \cdot \frac{\frac{\frac{b}{ag}}{1+\frac{b^2c^2}{a^2g^2}} \cdot c-\tan^{-1} \frac{bc}{ag}}{c^2}\\
-2c\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log (a^2+b^2x^2)}{(c^2-g^2x^2)^2}dx&=-\frac{π}{c^2g} \left(\frac{abcg}{a^2g^2+b^2c^2}-\tan^{-1} \frac{bc}{ag}\right)
\end{alignat}両辺を \(-2c\) で割ります。以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log (a^2+b^2x^2)}{(c^2-g^2x^2)^2}dx=\frac{π}{2c^3g} \left(\frac{abcg}{a^2g^2+b^2c^2}-\tan^{-1} \frac{bc}{ag}\right)$$








\((4)\) \((B)\) の式の両辺を \(g\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
\frac{d}{dg}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log (a^2+b^2x^2)}{c^2-g^2x^2}dx&=-\frac{π}{c} \cdot \frac{d}{dc}\frac{\tan^{-1} \frac{bc}{ag}}{g}\\
\displaystyle\int_0^{\infty} \log (a^2+b^2x^2) \cdot \frac{-2gx^2}{(c^2-g^2x^2)^2}dx&=-\frac{π}{c} \cdot \frac{\frac{-\frac{bc}{ag^2}}{1+\frac{b^2c^2}{a^2g^2}} \cdot g-\tan^{-1} \frac{bc}{ag}}{c^2}\\
-2g\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log (a^2+b^2x^2)}{(c^2-g^2x^2)^2}dx&=-\frac{π}{cg^2} \left(\frac{abcg}{a^2g^2+b^2c^2}+\tan^{-1} \frac{bc}{ag}\right)
\end{alignat}両辺を \(-2g\) で割ります。以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^2\log (a^2+b^2x^2)}{(c^2-g^2x^2)^2}dx=\frac{π}{2cg^3} \left(\frac{abcg}{a^2g^2+b^2c^2}+\tan^{-1} \frac{bc}{ag}\right)$$

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