log(a^2cos^2x+b^2sin^2x)[0,π/2]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (a^2 \cos^2x+b^2 \sin^2 x)dx=π\log \frac{a+b}{2}\\
&(2) \displaystyle\int_0^π \log (a^2 \cos^2x+b^2 \sin^2 x)dx=2π\log \frac{a+b}{2}\\
\end{alignat}ただし、全て \(a,b \gt 0\)











<証明>

\((1)\) 求める定積分を \(I(a)\) を置きます。$$I(a)=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (a^2 \cos^2x+b^2 \sin^2 x)dx$$\(I(a)\) を \(a\) で微分します。$$I’(a)=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{2a \cos^2x}{a^2 \cos^2 x+b^2 \sin^2 x}dx$$\( \tan x=t\) と置きます。\(\displaystyle \left( dx=\frac{1}{1+t^2}dt\right)\)$$=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{2a}{a^2+b^2t^2} \cdot \frac{1}{1+t^2}dt=2a \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{(1+t^2)(a^2+b^2t^2)}dt$$被積分関数を部分分数分解します。$$\frac{At+B}{1+t^2}+\frac{Ct+D}{a^2+b^2t^2}=\frac{1}{(1+t^2)(a^2+b^2t^2)}$$\(A,B,C,D\) を求めます。
\begin{alignat}{2}
&(At+B)(a^2+b^2t^2)+(Ct+D)(1+t^2)=1\\
&\\
&Ab^2t^3+Bb^2t^2+Aa^2t+Ba^2+Ct^3+Dt^2+Ct+D=1\\
&\\
&(Ab^2+C)t^3+(Bb^2+D)t^2+(Aa^2+C)t+Ba^2+D=1\\
\end{alignat}両辺を恒等的に見れば$$Ab^2+C=0,  Bb^2+D=0,  Aa^2+C=0,  Ba^2+D=1$$これを解くと$$A=C=0,  B=\frac{1}{a^2-b^2},  D=\frac{-b^2}{a^2-b^2}$$となります。元の積分計算に戻ります。
\begin{alignat}{2}
&I’(a)=2a \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{(1+t^2)(a^2+b^2t^2)}dt\\
&    =2a \displaystyle\int_0^{\infty} \left( \frac{1}{a^2-b^2} \cdot \frac{1}{1+t^2}-\frac{b^2}{a^2-b^2} \cdot \frac{1}{a^2+b^2t^2}\right)dt\\
&    =\frac{2a}{a^2-b^2}\displaystyle\int_0^{\infty} \left(\frac{1}{1+t^2}-\frac{1}{\frac{a^2}{b^2}+t^2}\right)dt\\
&    =\frac{2a}{a^2-b^2}\left[\tan^{-1} t -\frac{b}{a}\tan^{-1} \frac{b}{a}t\right]_0^{\infty}\\
&    =\frac{2a}{a^2-b^2}\left(\frac{π}{2}-\frac{b}{a}\cdot \frac{π}{2}\right)=\frac{2a}{a^2-b^2} \cdot \frac{π}{2}\left(1-\frac{b}{a}\right)\\
&    =\frac{2a}{a^2-b^2} \cdot \frac{π}{2}\cdot \frac{a-b}{a}=\frac{π}{a+b}\\
\end{alignat}両辺を \(a\) で積分します。$$I(a)=π\log (a+b)+C$$ところで \(a=0\) のとき
\begin{alignat}{2}
&I(0)=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\log (b^2 \sin^2 x)dx\\
&   =2 \log b \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}dx+2 \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (\sin x)dx\\
&   =π \log b-π \log 2\\
\end{alignat}であるので、定数 \(C\) を求めます。$$I(0)=π\log b+C=π \log b-π\log 2,  C=-π\log 2$$よって$$I(a)=π\log (a+b)-π\log 2=π\log \frac{a+b}{2}$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (a^2 \cos^2x+b^2 \sin^2 x)dx=π\log \frac{a+b}{2}$$








\((2)\) 被積分関数が \(\displaystyle x=\frac{π}{2}\) を軸として線対称であることを確認します。

被積分関数を \(f(x)\) と置きます。$$f(x)=\log (a^2 \cos^2x+b^2 \sin^2 x)$$このとき
\begin{alignat}{2}
&f\left(\frac{π}{2}+h\right)=\log\left\{a^2 \cos^2 \left(\frac{π}{2}+h\right)+b^2 \sin^2 \left(\frac{π}{2}+h\right)\right\}\\
&         =\log (a^2 \sin^2 h+b^2 \cos^2 h)\\
&\\
&f\left(\frac{π}{2}-h\right)=\log\left\{a^2 \cos^2 \left(\frac{π}{2}-h\right)+b^2 \sin^2 \left(\frac{π}{2}-h\right)\right\}\\
&         =\log (a^2 \sin^2 h+b^2 \cos^2 h)\\
\end{alignat}よって \(\displaystyle f\left(\frac{π}{2}+h\right)=f\left(\frac{π}{2}-h\right)\) となるので
\(f(x)\) は \(\displaystyle x=\frac{π}{2}\) を軸として線対称。以上より \((1)\) を用いれば
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^π \log (a^2 \cos^2x+b^2 \sin^2 x)dx\\
&=2\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (a^2 \cos^2x+b^2 \sin^2 x)dx=2π\log \frac{a+b}{2}\\
\end{alignat}


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