{log(sinx)}^3[0,π/2]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \{\log (\sin x)\}^3 dx=-\frac{π}{2}(\log 2)^3-\frac{π^3}{8}\log 2-\frac{3}{4}πζ(3)\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \{\log (\cos x)\}^3 dx=-\frac{π}{2}(\log 2)^3-\frac{π^3}{8}\log 2-\frac{3}{4}πζ(3)\\
\end{alignat}
















<証明>

次の級数における等式を用います。(詳細はこちらです)$$(A)  \log(\sin x)=-\log 2-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \cos (2nx)}{n}$$

\((1)\) \((A)\) の式を代入します。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \{\log (\sin x)\}^3 dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \left(-\log 2-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \cos 2nx}{n}\right)^3dx=-\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \left(\log 2+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \cos 2nx}{n}\right)^3dx\\
&=-\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\left\{(\log 2)^3+3 (\log 2)^2 \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \cos 2nx}{n}+3 (\log 2)^2\left(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \cos 2nx}{n}\right)^2 +\left(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \cos 2nx}{n}\right)^3\right\}dx\\
&=-\frac{π}{2}(\log 2)^3-3(\log 2)\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\left(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \cos 2nx}{n}\right)dx -3 (\log 2)\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\left(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \cos 2nx}{n}\right)^2dx-\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\left(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \cos 2nx}{n}\right)^3dx
\end{alignat}左から \(2\) 番目の項の積分から順に計算していきます。

$$(α)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\left(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \cos 2nx}{n}\right)dx=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos 2nxdx=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \left[\frac{\sin 2nx}{2n} \right]_0^{\frac{π}{2}}=0$$

$$(β)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\left(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \cos 2nx}{n}\right)^2dx=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \left(\frac{\cos 2x}{1}+\frac{\cos 4x}{2}+\frac{\cos 6x}{3}+ \cdots \right)\left(\frac{\cos 2x}{1}+\frac{\cos 4x}{2}+\frac{\cos 6x}{3}+ \cdots \right)dx$$被積分関数を展開すると \(2\) つの \(\cos\) の積の和が現れるので、次の定積分を計算します。 $$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos 2nx \cos 2mxdx=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \{\cos (2n+2m)x+\cos (2n-2m)x\}dx$$\((A)\) \(n≠m\) のとき$$=\frac{1}{2}\left[\frac{\sin (2n+2m)x}{2n+2m}+\frac{\sin (2n-2m)x}{2n-2m}\right]_0^{\frac{π}{2}}=0$$\((B)\) \(n=m\) のとき$$=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} (\cos 4nx+1)dx=\frac{1}{2}\left[\frac{\sin 4nx}{4n}+x\right]_0^{\frac{π}{2}}=\frac{π}{4}$$よって、計算する定積分は次のようになります。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\left(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \cos 2nx}{n}\right)^2dx&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \left(\frac{\cos^2 2x}{1^2}+\frac{\cos^2 4x}{2^2}+\frac{\cos^2 6x}{3^2}+ \cdots \right)dx\\
&=\frac{1}{1^2}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos^2 2xdx+\frac{1}{2^2}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos^2 4xdx+\frac{1}{3^2}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos^2 6xdx+ \cdots \\
&=\frac{1}{1^2} \cdot \frac{π}{4}+\frac{1}{2^2} \cdot \frac{π}{4}+\frac{1}{3^2} \cdot \frac{π}{4}+ \cdots \\
&=\frac{π}{4}\left(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+ \cdots \right)=\frac{π}{4} \cdot \frac{π^2}{6}=\frac{π^3}{24}
\end{alignat}


$$(γ)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\left(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \cos 2nx}{n}\right)^3dx=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \left(\frac{\cos 2x}{1}+\frac{\cos 4x}{2}+\frac{\cos 6x}{3}+ \cdots \right)\left(\frac{\cos 2x}{1}+\frac{\cos 4x}{2}+\frac{\cos 6x}{3}+ \cdots \right)\left(\frac{\cos 2x}{1}+\frac{\cos 4x}{2}+\frac{\cos 6x}{3}+ \cdots \right)dx$$被積分関数を展開すると \(3\) つの \(\cos\) の積の和が現れるので、次の定積分を計算します。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos 2nx \cos 2mx \cos 2lxdx  (n,m,l \in \mathrm{N})\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \cos 2nx \{\cos (2m+2l)x+\cos (2m-2l)x\}dx\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \{\cos 2nx \cos (2m+2l)x+\cos 2nx \cos (2m-2l)x\}dx\\
&=\frac{1}{4}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \{\cos (2n+2m+2l)x+\cos (2n-2m-2l)x+\cos (2n+2m-2l)x+\cos (2n-2m+2l)x\}dx\\
\end{alignat}上記の被積分関数を見ると \(n=m+l\) または \(m=n+l\) または \(l=m+n\) のとき、

すなわち「\(2\) つの自然数の和が他の自然数に等しいとき」のみ積分値が \(0\) でないことがわかります。

例えば \(n=m+l\) のとき
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{4}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \{\cos (4m+4l)x+1+\cos 4mx+\cos 4lx\}dx\\
&=\frac{1}{4}\left[\frac{\sin (4m+4l)x}{4m+4l}+x+\frac{\sin 4mx}{4m}+\frac{\sin 4lx}{4l}\right]_0^{\frac{π}{2}}=\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{2}=\frac{π}{8}\\
\end{alignat}
よって、計算する定積分は次のようになります。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\left(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \cos 2nx}{n}\right)^3dx&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \bigg(3 \cdot \frac{\cos 2x \cos 2x \cos 4x}{1 \cdot 1 \cdot 2}+6 \cdot \frac{\cos 2x \cos 4x \cos 6x}{1 \cdot 2 \cdot 3}+6 \cdot \frac{\cos 2x \cos 6x \cos 8x}{1 \cdot 3 \cdot 4}\\
&           +3 \cdot \frac{\cos 4x \cos 4x \cos 8x}{2 \cdot 2 \cdot 4}+6 \cdot \frac{\cos 2x \cos 8x \cos 10x}{1 \cdot 4 \cdot 5}+6 \cdot \frac{\cos 4x \cos 6x \cos 10x}{2 \cdot 3 \cdot 5}+ \cdots \bigg)dx\\
&=\frac{π}{8}\left(3 \cdot \frac{1}{1 \cdot 1 \cdot 2}+6 \cdot \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+6 \cdot \frac{1}{1 \cdot 3 \cdot 4}+3 \cdot \frac{1}{2 \cdot 2 \cdot 4}+6 \cdot \frac{1}{1 \cdot 4 \cdot 5}+6 \cdot \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 5}+ \cdots \right)\\
&=\frac{3π}{8}\left(\frac{1}{1 \cdot 1 \cdot 2}+2 \cdot \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+2 \cdot \frac{1}{1 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{2 \cdot 2 \cdot 4}+2 \cdot \frac{1}{1 \cdot 4 \cdot 5}+2 \cdot \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 5}+ \cdots \right)\\
&=\frac{3π}{8}\left\{\frac{1}{1 \cdot 1} \cdot \frac{1}{2}+\left(\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 1}\right) \frac{1}{3}+\left(\frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 2}+\frac{1}{3 \cdot 1}\right) \frac{1}{4}+\left(\frac{1}{1 \cdot 4}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 2}+\frac{1}{4 \cdot 1}\right) \frac{1}{5}+ \cdots \right\}\\
&=\frac{3π}{8}\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} \left\{\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k(n-k)}\right\} \cdot \frac{1}{n}=-\frac{3π}{8}\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n}\left\{\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k(k-n)}\right\} \\
&=-\frac{3π}{8}\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^2}\left\{\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \left(\frac{1}{k-n}-\frac{1}{k}\right)\right\}=\frac{3π}{8}\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^2}\left\{\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \left(\frac{1}{n-k}-\frac{1}{k}\right)\right\} \\
&=\frac{3π}{8}\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^2}\left\{ \left(\frac{1}{n-1}+1\right)+\left(\frac{1}{n-2}+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{n-3}+\frac{1}{3}\right)+ \cdots +\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{n-2}\right)+\left(1+\frac{1}{n-1}\right)\right\}\\
&=\frac{3π}{8}\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^2} \cdot 2 \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+ \cdots +\frac{1}{n-1}\right)=\frac{3π}{4}\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} \frac{H_{n-1}}{n^2}=\frac{3π}{4}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{H_{n-1}}{n^2}=\frac{3π}{4}ζ(3)   (H_0=0)\\
\end{alignat}
始めの積分計算にこれらを代入すると
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \{\log (\sin x)\}^3 dx&=-\frac{π}{2}(\log 2)^3-3(\log 2)\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\left(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \cos 2nx}{n}\right)dx -3 (\log 2)\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\left(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \cos 2nx}{n}\right)^2dx-\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\left(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \cos 2nx}{n}\right)^3dx\\
&=-\frac{π}{2}(\log 2)^3-3 (\log2) \cdot \frac{π^3}{24}-\frac{3π}{4}ζ(3)\\
&=-\frac{π}{2}(\log 2)^3-\frac{π^3}{8} \log2-\frac{3π}{4}ζ(3)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \{\log (\sin x)\}^3 dx=-\frac{π}{2}(\log 2)^3-\frac{π^3}{8}\log 2-\frac{3}{4}πζ(3)$$







\((2)\) \(\displaystyle x=\frac{π}{2}-t\) と置きます。\((dx=-dt)\)
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \{\log (\cos x)\}^3 dx&=\displaystyle\int_{\frac{π}{2}}^0\{\log (\sin t)\}^3 (-dt)=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \{\log (\sin t)\}^3 dt\\
&=-\frac{π}{2}(\log 2)^3-\frac{π^3}{8} \log 2-\frac{3}{4}πζ(3)\\
\end{alignat}

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