log(sinxcosx)sin^{2n}x/cos^{2n+2}x[0,π/4]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\log (\sin x \cos x) \sin^{2n} x}{\cos^{2n+2} x}dx\\
&=-\frac{1}{2n+1}\left\{\log 2+\frac{π(-1)^n}{2}-\frac{1}{2n+1}+2 \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(-1)^k}{2n-2k-1}\right\}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\log (\sin x \cos x) \sin^{2n-1} x}{\cos^{2n+2} x}dx\\
&=-\frac{1}{2n}\left\{\log 2+(-1)^{n+1}\log 2-\frac{1}{2n} +(-1)^{n+1} \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^k}{k}\right\}
\end{alignat}ただし、全て \(n \in \mathrm{N}\)









<証明>

次の定積分の結果を用います。(詳細はこちらです)
\begin{alignat}{2}
&(A)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}\frac{\log (\sin x) \sin^{2n} x}{\cos^{2n+2} x}dx\\
&=-\frac{1}{2n+1}\left\{\frac{1}{2}\log 2+\frac{π(-1)^n}{4}+\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(-1)^k}{2n-2k-1}\right\}\\
&(B)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}\frac{\log (\sin x) \sin^{2n-1} x}{\cos^{2n+1} x}dx\\
&=\frac{1}{4n}\left\{-\log 2+(-1)^n \log 2+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^k}{n-k}\right\}\\
&(C)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}\frac{\log (\cos x) \sin^{2n} x}{\cos^{2n+2} x}dx\\
&=-\frac{1}{2n+1}\left\{\frac{1}{2}\log 2+\frac{π(-1)^n}{4}+\displaystyle\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^{k+1}}{2n-2k+1}\right\}\\
&(D)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}\frac{\log (\cos x) \sin^{2n-1} x}{\cos^{2n+1} x}dx\\
&=\frac{1}{4n}\left\{-\log 2+(-1)^n \log 2+\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(-1)^k}{n-k}\right\}
\end{alignat}ただし、全て \(n \in \mathrm{N}\)





上記の積分結果に現れるシグマについて、予め変形しておきます。
\begin{alignat}{2}
(α)  \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{2n-2k+1}&=-\frac{1}{2n+1}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^k}{2n-2k+1}\\
&=-\frac{1}{2n+1}+\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(-1)^k}{2n-2k-1}\\
\end{alignat}\begin{alignat}{2}
(β)  \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(-1)^k}{n-k}&=\frac{1}{n}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^k}{n-k}=\frac{1}{n}+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^k\cdot (-1)^{2n-2k}}{n-k}\\
&=\frac{1}{n}+(-1)^n\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^{n-k}}{n-k}=\frac{1}{n}+(-1)^n\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^k}{k}\\
\end{alignat}






\((1)\) \(\log\) を切り離して \((A)(C)\) の式を代入します。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\log (\sin x \cos x) \sin^{2n} x}{\cos^{2n+2} x}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{(\log \sin x +\log \cos x) \sin^{2n} x}{\cos^{2n+2} x}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}\frac{\log (\sin x) \sin^{2n} x}{\cos^{2n+2} x}dx+\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}\frac{\log (\cos x) \sin^{2n} x}{\cos^{2n+2} x}dx\\
&=-\frac{1}{2n+1}\left\{\frac{1}{2}\log 2+\frac{π(-1)^n}{4}+\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(-1)^k}{2n-2k-1}\right\}-\frac{1}{2n+1}\left\{\frac{1}{2}\log 2+\frac{π(-1)^n}{4}-\frac{1}{2n+1}+\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(-1)^k}{2n-2k-1}\right\}\\
&=-\frac{1}{2n+1}\left\{\log 2+\frac{π(-1)^n}{2}-\frac{1}{2n+1}+2 \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(-1)^k}{2n-2k-1}\right\}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\log (\sin x \cos x) \sin^{2n} x}{\cos^{2n+2} x}dx=-\frac{1}{2n+1}\left\{\log 2+\frac{π(-1)^n}{2}-\frac{1}{2n+1}+2 \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \frac{(-1)^k}{2n-2k-1}\right\}$$







\((2)\) \(\log\) を切り離して \((B)(D)\) の式を代入します。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\log (\sin x \cos x) \sin^{2n-1} x}{\cos^{2n+2} x}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{(\log \sin x + \log \cos x) \sin^{2n-1} x}{\cos^{2n+2} x}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}\frac{\log (\sin x) \sin^{2n-1} x}{\cos^{2n+1} x}dx+\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}\frac{\log (\cos x) \sin^{2n-1} x}{\cos^{2n+1} x}dx\\
&=\frac{1}{4n}\left\{-\log 2+(-1)^n \log 2+(-1)^n\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^k}{k}\right\}+\frac{1}{4n}\left\{-\log 2+(-1)^n \log 2+\frac{1}{n}+(-1)^n\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^k}{k}\right\}\\
&=\frac{1}{4n}\left\{-2\log 2+2(-1)^n \log 2+\frac{1}{n}+2(-1)^n\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^k}{k}\right\}\\
&=-\frac{1}{2n}\left\{\log 2+(-1)^{n+1}\log 2-\frac{1}{2n} +(-1)^{n+1} \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^k}{k}\right\}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\log (\sin x \cos x) \sin^{2n-1} x}{\cos^{2n+2} x}dx=-\frac{1}{2n}\left\{\log 2+(-1)^{n+1}\log 2-\frac{1}{2n} +(-1)^{n+1} \displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^k}{k}\right\}$$

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