log(sinx)sin^{3}x/√(1+sin^{2}x)[0,π/2]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\log (\sin x) \sin x}{\sqrt{1+\sin^2 x}}dx=-\frac{π}{8}\log 2\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\log (\cos x) \cos x}{\sqrt{1+\cos^2 x}}dx=-\frac{π}{8}\log 2\\
&(3)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\log (\sin x) \sin^3 x}{\sqrt{1+\sin^2 x}}dx=\frac{\log 2-1}{4}\\
&(4)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\log (\cos x) \cos^3 x}{\sqrt{1+\cos^2 x}}dx=\frac{\log 2-1}{4}\\
\end{alignat}







<証明>

次の定積分を \(I(μ)\) と置きます。$$I(μ)=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^μ x}{\sqrt{1+\sin^2 x}}dx$$\(I(μ)\) を \(μ\) で微分します。$$I’(μ)=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\log (\sin x)\sin^μ x}{\sqrt{1+\sin^2 x}}dx$$\(μ=1,3\) のとき$$I’(1)=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\log (\sin x) \sin x}{\sqrt{1+\sin^2 x}}dx,  I’(3)=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\log (\sin x) \sin^3 x}{\sqrt{1+\sin^2 x}}dx$$となるので \(I’(1),I’(3)\) を求めます。

\(\sin x=t\) と置きます。\((\cos xdx=dt)\)$$I(μ)=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\sin^μ x}{\sqrt{1+\sin^2 x}}dx=\displaystyle\int_0^1 \frac{t^μ}{\sqrt{1+t^2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt=\displaystyle\int_0^1 \frac{t^μ}{\sqrt{1-t^4}}dt$$\(t^4=s\) と置きます。\((4t^3dt=ds)\)
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\int_0^1 \frac{s^{\frac{μ}{4}}}{\sqrt{1-s}} \cdot \frac{1}{4s^{\frac{3}{4}}}ds=\frac{1}{4}\displaystyle\int_0^1 s^{\frac{μ-3}{4}} (1-s)^{-\frac{1}{2}}ds\\
&=\frac{1}{4}B\left(\frac{μ+1}{4},\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}\cdot \frac{Γ\left(\frac{μ+1}{4}\right)Γ\left(\frac{1}{2}\right)}{Γ\left(\frac{μ+3}{4}\right)}=\frac{\sqrt{π}}{4}\cdot \frac{Γ\left(\frac{μ+1}{4}\right)}{Γ\left(\frac{μ+3}{4}\right)}\\
\end{alignat}\(I(μ)\) を \(μ\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
I’(μ)&=\frac{\sqrt{π}}{4}\cdot \frac{\frac{1}{4}Γ’\left(\frac{μ+1}{4}\right)Γ\left(\frac{μ+3}{4}\right)-\frac{1}{4}Γ\left(\frac{μ+1}{4}\right)Γ’\left(\frac{μ+3}{4}\right)}{\left\{Γ\left(\frac{μ+3}{4}\right)\right\}^2}\\
&=\frac{\sqrt{π}}{16} \cdot \frac{Γ\left(\frac{μ+1}{4}\right)}{Γ\left(\frac{μ+3}{4}\right)}\left\{ψ\left(\frac{μ+1}{4}\right)-ψ\left(\frac{μ+3}{4}\right)\right\}\\
\end{alignat}

\((1)\) \(μ=1\) のとき
\begin{alignat}{2}
I’(1)&=\frac{\sqrt{π}}{16} \cdot \frac{Γ\left(\frac{1}{2}\right)}{Γ(1)}\left\{ψ\left(\frac{1}{2}\right)-ψ(1)\right\}\\
&=\frac{π}{16}(-γ-2 \log 2+γ)=-\frac{π}{8}\log 2\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\log (\sin x) \sin x}{\sqrt{1+\sin^2 x}}dx=-\frac{π}{8}\log 2$$





\((2)\) \(\displaystyle x=\frac{π}{2}-t\) と置きます。\((dx=-dt)\)
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\log (\cos x) \cos x}{\sqrt{1+\cos^2 x}}dx&=\displaystyle\int_{\frac{π}{2}}^0 \frac{\log (\sin t) \sin t}{\sqrt{1+\sin^2 t}}(-dt)\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\log (\sin t) \sin t}{\sqrt{1+\sin^2 t}}dt=-\frac{π}{8}\log 2\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\log (\cos x) \cos x}{\sqrt{1+\cos^2 x}}dx=-\frac{π}{8}\log 2$$







\((3)\) \(μ=3\) のとき
\begin{alignat}{2}
I’(3)&=\frac{\sqrt{π}}{16} \cdot \frac{Γ(1)}{Γ\left(\frac{3}{2}\right)}\left\{ψ(1)-ψ\left(\frac{3}{2}\right)\right\}\\
&=\frac{\sqrt{π}}{16}\cdot \frac{2}{\sqrt{π}}\{-γ-(2-γ-2 \log 2)\}\\
&=\frac{1}{8}(2 \log 2-2)=\frac{\log 2-1}{4}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\log (\sin x) \sin^3 x}{\sqrt{1+\sin^2 x}}dx=\frac{\log 2-1}{4}$$







\((4)\) \(\displaystyle x=\frac{π}{2}-t\) と置きます。\((dx=-dt)\)
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\log (\cos x) \cos^3 x}{\sqrt{1+\cos^2 x}}dx&=\displaystyle\int_{\frac{π}{2}}^0 \frac{\log (\sin t) \sin^3 t}{\sqrt{1+\sin^2 t}}(-dt)\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\log (\sin t) \sin^3 t}{\sqrt{1+\sin^2 t}}dt=\frac{\log 2-1}{4}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{\log (\cos x) \cos^3 x}{\sqrt{1+\cos^2 x}}dx=\frac{\log 2-1}{4}$$

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です