log(sinx)sin^{μ-1}x[0,π/2]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (\sin x) \sin^μ x \cos^v xdx  (μ,v \gt -1)\\
&=\frac{1}{4} B\left(\frac{μ+1}{2},\frac{v+1}{2}\right)\left\{ψ\left(\frac{μ+1}{2}\right)-ψ\left(\frac{μ+v}{2}+1\right)\right\}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (\cos x) \cos^μ x \sin^v xdx  (μ,v \gt -1)\\
&=\frac{1}{4} B\left(\frac{μ+1}{2},\frac{v+1}{2}\right)\left\{ψ\left(\frac{μ+1}{2}\right)-ψ\left(\frac{μ+v}{2}+1\right)\right\}\\
&(3)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (\sin x) \sin^{μ-1} x dx  (μ \gt 0)\\
&=\frac{\sqrt{π}Γ\left(\frac{μ}{2}\right)}{4Γ\left(\frac{μ+1}{2}\right)}\left\{ψ\left(\frac{μ}{2}\right)-ψ\left(\frac{μ+1}{2}\right)\right\}\\
&(4)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (\sin x) \cos^{v-1} x dx  (v \gt 0)\\
&=\frac{\sqrt{π}Γ\left(\frac{v}{2}\right)}{4Γ\left(\frac{v+1}{2}\right)}\left\{ψ\left(\frac{v}{2}\right)-ψ\left(\frac{v+1}{2}\right)\right\}
\end{alignat}









<証明>

\((1)\) 次の定積分を \(I(μ)\) と置きます。$$I(μ)=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin^μ x \cos^v xdx$$\(I(μ)\) を \(μ\) で微分します。$$I’(μ)=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (\sin x)\sin^μ x \cos^v xdx$$よって \(I’(μ)\) を求めます。
\begin{alignat}{2}
I(μ)&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin^μ x \cos^v xdx=\frac{1}{2}B\left(\frac{μ+1}{2},\frac{v+1}{2}\right)\\
&=\frac{1}{2}\cdot \frac{Γ\left(\frac{μ+1}{2}\right)Γ\left(\frac{v+1}{2}\right)}{Γ\left(\frac{μ+v}{2}+1\right)}=\frac{1}{2}Γ\left(\frac{v+1}{2}\right)\cdot \frac{Γ\left(\frac{μ+1}{2}\right)}{Γ\left(\frac{μ+v}{2}+1\right)}\\
\end{alignat}\(I(μ)\) を \(μ\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
I’(μ)&=\frac{1}{2}Γ\left(\frac{v+1}{2}\right) \cdot \frac{\frac{1}{2}Γ’\left(\frac{μ+1}{2}\right)Γ\left(\frac{μ+v}{2}+1\right)-\frac{1}{2}Γ\left(\frac{μ+1}{2}\right)Γ’\left(\frac{μ+v}{2}+1\right)}{\left\{Γ\left(\frac{μ+v}{2}+1\right)\right\}^2}\\
&=\frac{1}{4}\cdot \frac{Γ\left(\frac{μ+1}{2}\right)Γ\left(\frac{v+1}{2}\right)}{Γ\left(\frac{μ+v}{2}+1\right)}\left\{ψ\left(\frac{μ+1}{2}\right)-ψ\left(\frac{μ+v}{2}+1\right)\right\}\\
&=\frac{1}{4} B\left(\frac{μ+1}{2},\frac{v+1}{2}\right)\left\{ψ\left(\frac{μ+1}{2}\right)-ψ\left(\frac{μ+v}{2}+1\right)\right\}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (\sin x) \sin^μ x \cos^v xdx=\frac{1}{4} B\left(\frac{μ+1}{2},\frac{v+1}{2}\right)\left\{ψ\left(\frac{μ+1}{2}\right)-ψ\left(\frac{μ+v}{2}+1\right)\right\}$$







\((2)\) \(\displaystyle x=\frac{π}{2}-t\) と置きます。\((dx=-dt)\)
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (\cos x) \cos^μ x \sin^v xdx&=\displaystyle\int_{\frac{π}{2}}^0 \log (\sin t) \sin^μ t \cos^v t(-dt)\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (\cos t) \cos^μ t \sin^v tdx\\
&=\frac{1}{4} B\left(\frac{μ+1}{2},\frac{v+1}{2}\right)\left\{ψ\left(\frac{μ+1}{2}\right)-ψ\left(\frac{μ+v}{2}+1\right)\right\}\\
\end{alignat}






\((3)\) \((1)\) の式で \(μ\) を \(μ-1\)、\(v\) を \(0\) とします。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (\sin x) \sin^{μ-1} x dx&=\frac{1}{4} B\left(\frac{μ}{2},\frac{1}{2}\right)\left\{ψ\left(\frac{μ}{2}\right)-ψ\left(\frac{μ+1}{2}\right)\right\}\\
&=\frac{\sqrt{π}Γ\left(\frac{μ}{2}\right)}{4Γ\left(\frac{μ+1}{2}\right)}\left\{ψ\left(\frac{μ}{2}\right)-ψ\left(\frac{μ+1}{2}\right)\right\}
\end{alignat}







\((4)\) \((1)\) の式で \(μ\) を \(0\)、\(v\) を \(v-1\) とします。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (\sin x) \cos^{v-1} x dx&=\frac{1}{4} B\left(\frac{1}{2},\frac{v}{2}\right)\left\{ψ\left(\frac{v}{2}\right)-ψ\left(\frac{v+1}{2}\right)\right\}\\
&=\frac{\sqrt{π}Γ\left(\frac{v}{2}\right)}{4Γ\left(\frac{v+1}{2}\right)}\left\{ψ\left(\frac{v}{2}\right)-ψ\left(\frac{v+1}{2}\right)\right\}
\end{alignat}

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です