log(tanx)cos^{2(μ-1)}x[0,π/2]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (a \tan x)\sin^{μ-1} 2xdx=(\log a)2^{μ-2} \frac{\left\{Γ\left(\frac{μ}{2}\right)\right\}^2}{Γ(μ)}  (a \gt 0,\,μ \gt 0)\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (\tan x) \cos^{2(μ-1)} xdx\\
&=-\frac{\sqrt{π}}{4Γ(μ)}Γ\left(μ-\frac{1}{2}\right)\left\{γ+2 \log 2 +ψ\left(μ-\frac{1}{2}\right)\right\}  \left(μ \gt \frac{1}{2}\right)
\end{alignat}










<証明>

\((1)\) 積分を切り離します。$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (a \tan x)\sin^{μ-1} xdx=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log ( \tan x)\sin^{μ-1} 2xdx+(\log a)\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin^{μ-1} 2xdx$$
\((A)\) 左の積分を計算します。

次の定積分を \(I(p)\) を置きます。$$I(p)=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} (\tan x)^p \sin^{μ-1} 2xdx$$\(I(p)\) を \(p\) で微分します。$$I’(p)=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} (\tan x)^p \sin^{μ-1} 2x \log (\tan x)dx$$\(p=0\) とします。$$I’(0)=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log ( \tan x)\sin^{μ-1} 2xdx$$となるので \(I’(0)\) を求めます。
\begin{alignat}{2}
I(p)&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} (\tan x)^p \sin^{μ-1} 2xdx\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} (\sin x)^p (\cos x)^{-p} 2^{μ-1} (\sin x)^{μ-1} (\cos x)^{μ-1}dx\\
&=2^{μ-1} \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} (\sin x)^{p+μ-1} (\cos x)^{-p+μ-1}dx\\
&=2^{μ-2}B\left(\frac{p+μ}{2},\frac{-p+μ}{2}\right)=2^{μ-2} \cdot \frac{Γ\left(\frac{p+μ}{2}\right)Γ\left(\frac{-p+μ}{2}\right)}{Γ(μ)}=\frac{2^{μ-2}}{Γ(μ)}Γ\left(\frac{p+μ}{2}\right)Γ\left(\frac{-p+μ}{2}\right)\\
\end{alignat}
\(I(p)\) を \(p\) で微分します。$$I’(p)=\frac{2^{μ-2}}{Γ(μ)}\left\{\frac{1}{2}Γ’\left(\frac{p+μ}{2}\right)Γ\left(\frac{-p+μ}{2}\right)-\frac{1}{2}Γ\left(\frac{p+μ}{2}\right)Γ’\left(\frac{-p+μ}{2}\right)\right\}$$\(p=0\) とします。$$I’(0)=\frac{2^{μ-3}}{Γ(μ)}\left\{Γ’\left(\frac{μ}{2}\right)Γ\left(\frac{μ}{2}\right)-Γ\left(\frac{μ}{2}\right)Γ’\left(\frac{μ}{2}\right)\right\}=0$$よって$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log ( \tan x)\sin^{μ-1} 2xdx=0$$

\((B)\) 右の積分を計算します。
\begin{alignat}{2}
(\log a)\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sin^{μ-1} 2xdx&=(\log a)2^{μ-1} \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} (\sin x)^{μ-1}(\cos x)^{μ-1}dx\\
&=(\log a)2^{μ-2}B\left(\frac{μ}{2},\frac{μ}{2}\right)\\
&=(\log a)2^{μ-2} \frac{\left\{Γ\left(\frac{μ}{2}\right)\right\}^2}{Γ(μ)}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (a \tan x)\sin^{μ-1} 2xdx=(\log a)2^{μ-2} \frac{\left\{Γ\left(\frac{μ}{2}\right)\right\}^2}{Γ(μ)}  (a \gt 0,\,μ \gt 0)$$








\((2)\) 次の定積分を \(I(p)\) と置きます。$$I(p)=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} (\tan x)^p \cos^{2(μ-1)} xdx$$\(I(p)\) を \(p\) で微分します。$$I’(p)=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} (\tan x)^p \cos^{2(μ-1)} x \log (\tan x)dx$$ \(p=0\) とすると$$I’(0)=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (\tan x) \cos^{2(μ-1)} xdx$$となるので \(I’(0)\) を求めます。

\begin{alignat}{2}
I(p)&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} (\tan x)^p \cos^{2(μ-1)} xdx=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} (\sin x)^p (\cos x)^{2μ-p-2}dx\\
&=\frac{1}{2}B\left(\frac{p+1}{2},\frac{2μ-p-1}{2}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{Γ\left(\frac{p+1}{2}\right)Γ\left(\frac{2μ-p-1}{2}\right)}{Γ(μ)}\\
&=\frac{1}{2Γ(μ)}Γ\left(\frac{p+1}{2}\right)Γ\left(\frac{2μ-p-1}{2}\right)\\
\end{alignat}\(I(p)\) を \(p\) で微分します。$$I’(p)=\frac{1}{2Γ(μ)}\left\{\frac{1}{2}Γ’\left(\frac{p+1}{2}\right)Γ\left(\frac{2μ-p-1}{2}\right)-\frac{1}{2}Γ\left(\frac{p+1}{2}\right)Γ’\left(\frac{2μ-p-1}{2}\right)\right\}$$\(p=0\) とします。
\begin{alignat}{2}
I’(0)&=\frac{1}{4Γ(μ)}\left\{Γ’\left(\frac{1}{2}\right)Γ\left(μ-\frac{1}{2}\right)-Γ\left(\frac{1}{2}\right)Γ’\left(μ-\frac{1}{2}\right)\right\}\\
&=\frac{1}{4Γ(μ)}Γ\left(\frac{1}{2}\right)Γ\left(μ-\frac{1}{2}\right)\left\{ψ\left(\frac{1}{2}\right)-ψ\left(μ-\frac{1}{2}\right)\right\}\\
&=\frac{\sqrt{π}}{4Γ(μ)}Γ\left(μ-\frac{1}{2}\right)\left\{-γ-2 \log 2-ψ\left(μ-\frac{1}{2}\right)\right\}\\
&=-\frac{\sqrt{π}}{4Γ(μ)}Γ\left(μ-\frac{1}{2}\right)\left\{γ+2 \log 2 +ψ\left(μ-\frac{1}{2}\right)\right\}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (\tan x) \cos^{2(μ-1)} xdx=-\frac{\sqrt{π}}{4Γ(μ)}Γ\left(μ-\frac{1}{2}\right)\left\{γ+2 \log 2 +ψ\left(μ-\frac{1}{2}\right)\right\}  \left(μ \gt \frac{1}{2}\right)$$

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