log(tanx)などの級数展開

\begin{alignat}{2}
&(1)  \log \sin x=\log x+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-4)^n B_{2n}}{(2n) \cdot (2n)!}x^{2n}  (0 \lt x \lt π)\\
&(2)  \log \cos x=-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-4)^n (1-4^n)B_{2n}}{(2n) \cdot (2n)!}x^{2n}  \left(|x| \lt \frac{π}{2}\right)\\
&(3)  \log \tan x=\log x+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-4)^n (1-2^{2n-1})B_{2n}}{n \cdot (2n)!}x^{2n}  \left(0 \lt x \lt \frac{π}{2}\right)\\
\end{alignat}














<証明>

次の級数展開を用います。(詳細はこちらです。)
\begin{alignat}{2}
&(A)  \tan x=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-4)^n(1-4^n)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}  \left(-\frac{π}{2} \lt x \lt \frac{π}{2}\right) \\
&(B)  \cot x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-4)^nB_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}  (0 \lt |x| \lt π)\\
\end{alignat}




\((1)\) \((B)\) の式のおいて \(n=0\) のときを外に出します。$$\cot x=\frac{1}{x}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-4)^nB_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}  (0 \lt |x| \lt π)$$両辺を \(x\) で積分します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int \cot xdx&=\displaystyle\int \frac{1}{x}dx+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-4)^nB_{2n}}{(2n)!}\displaystyle\int x^{2n-1} dx\\
\log \sin x&=\log x+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-4)^nB_{2n}}{(2n)!}\cdot \frac{x^{2n}}{2n}+C\\
\end{alignat}右辺の \(\log x\) を左辺に移項します。$$\log \frac{\sin x}{x}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-4)^nB_{2n}}{(2n)!}\cdot \frac{x^{2n}}{2n}+C$$\(x \to 0\) とします。$$C=\log \left(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\right)=0$$以上より$$\log \sin x=\log x+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-4)^n B_{2n}}{(2n) \cdot (2n)!}x^{2n}  (0 \lt x \lt π)$$







\((2)\) \((A)\) の式において$$\tan x=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-4)^n(1-4^n)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1}  \left(-\frac{π}{2} \lt x \lt \frac{π}{2}\right)$$両辺を \(x\) で積分します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle \int \tan xdx=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-4)^n(1-4^n)B_{2n}}{(2n)!} \displaystyle\int x^{2n-1}dx\\
-\log \cos x=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-4)^n(1-4^n)B_{2n}}{(2n)!} \cdot \frac{x^{2n}}{2n}+C\\
\end{alignat}\(x=0\) のとき \(C=0\) であるので、以上より$$\log \cos x=-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-4)^n (1-4^n)B_{2n}}{(2n) \cdot (2n)!}x^{2n}  \left(|x| \lt \frac{π}{2}\right)$$








\((3)\) \((1)\) の式から \((2)\) の式を引きます。
\begin{alignat}{2}
\log \tan x&=\log \sin x-\log \cos x\\
&=\log x+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-4)^n B_{2n}}{(2n) \cdot (2n)!}x^{2n}+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-4)^n (1-4^n)B_{2n}}{(2n) \cdot (2n)!}x^{2n}\\
&=\log x+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-4)^n \{1+(1-4^n)\}B_{2n}}{(2n) \cdot (2n)!}x^{2n}\\
&=\log x+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-4)^n (2-4^n)B_{2n}}{(2n) \cdot (2n)!}x^{2n}\\
&=\log x+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-4)^n (1-2^{2n-1})B_{2n}}{n \cdot (2n)!}x^{2n}\\
\end{alignat}以上より$$\log \tan x=\log x+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-4)^n (1-2^{2n-1})B_{2n}}{n \cdot (2n)!}x^{2n}  \left(0 \lt x \lt \frac{π}{2}\right)$$

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