logx/[3]√(1-x^3)[0,1]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^1 \frac{\log x}{\sqrt[3]{1-x^3}}dx=-\frac{π}{3\sqrt{3}}\left(\log 3+\frac{π}{3\sqrt{3}}\right)\\
&(2) \displaystyle\int_0^1 \frac{x\log x}{\sqrt[3]{(1-x^3})^2}dx=\frac{π}{3\sqrt{3}}\left(\frac{π}{3\sqrt{3}}-\log 3\right)\\
\end{alignat}










<証明>

\((1)\) 次の定積分を \(I(a)\) と置きます。$$I(a)=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^a}{\sqrt[3]{1-x^3}}dx$$\(I(a)\) を \(a\) で微分します。$$I’(a)=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^a(\log x)}{\sqrt[3]{1-x^3}}dx$$\(a=0\) のとき$$I’(0)=\displaystyle\int_0^1 \frac{\log x}{\sqrt[3]{1-x^3}}dx$$となるので \(I’(0)\) を求めます。

\(x^3=t\) と置きます。\((3x^2dx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&I(a)=\displaystyle\int_0^1 x^a(1-x^3)^{-\frac{1}{3}}dx=\displaystyle\int_0^1 t^{\frac{a}{3}}(1-t)^{-\frac{1}{3}}\cdot \frac{1}{3t^{\frac{2}{3}}}dt\\
&   =\frac{1}{3}\displaystyle\int_0^1 t^{\frac{a-2}{3}}(1-t)^{-\frac{1}{3}}dt=\frac{1}{3}B\left(\frac{a+1}{3},\frac{2}{3}\right)\\
&   =\frac{1}{3}\cdot \frac{Γ\left(\frac{a+1}{3}\right)Γ\left(\frac{2}{3}\right)}{Γ\left(\frac{a}{3}+1\right)}=\frac{Γ\left(\frac{2}{3}\right)}{3}\cdot \frac{Γ\left(\frac{a+1}{3}\right)}{Γ\left(\frac{a}{3}+1\right)}\\
\end{alignat}\(I(a)\) を \(a\) で微分します。$$I’(a)=\frac{Γ\left(\frac{2}{3}\right)}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3}Γ’\left(\frac{a+1}{3}\right)Γ\left(\frac{a}{3}+1\right)-\frac{1}{3}Γ\left(\frac{a+1}{3}\right)Γ’\left(\frac{a}{3}+1\right)}{\left\{Γ\left(\frac{a}{3}+1\right)\right\}^2}$$\(a=0\) のとき
\begin{alignat}{2}
&I’(0)=\frac{Γ\left(\frac{2}{3}\right)}{3} \cdot \frac{1}{3}\left\{Γ’\left(\frac{1}{3}\right)-Γ\left(\frac{1}{3}\right)Γ’(1)\right\}\\
&    =\frac{1}{9}Γ\left(\frac{2}{3}\right)Γ\left(\frac{1}{3}\right)\left\{ψ\left(\frac{1}{3}\right)-ψ(1)\right\}\\
&    =\frac{1}{9}\cdot \frac{π}{\sin \frac{π}{3}}\left(-γ-\frac{3}{2}\log 3-\frac{π}{2\sqrt{3}}+γ\right)\\
&    =-\frac{π}{9}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}\left(\frac{3}{2}\log 3+\frac{π}{2\sqrt{3}}\right)=-\frac{π}{3\sqrt{3}}\left(\log 3+\frac{π}{3\sqrt{3}}\right)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{\log x}{\sqrt[3]{1-x^3}}dx=-\frac{π}{3\sqrt{3}}\left(\log 3+\frac{π}{3\sqrt{3}}\right)$$







\((2)\) 次の定積分を \(I(a)\) と置きます。$$I(a)=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{a+1}}{\sqrt[3]{(1-x^3)^2}}dx$$\(I(a)\) を \(a\) で微分します。$$I’(a)=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{a+1}(\log x)}{\sqrt[3]{(1-x^3)^2}}dx$$\(a=0\) のとき$$I’(0)=\displaystyle\int_0^1 \frac{x\log x}{\sqrt[3]{(1-x^3)^2}}dx$$となるので \(I’(0)\) を求めます。

\(x^3=t\) と置きます。\((3x^2dx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&I(a)=\displaystyle\int_0^1 x^{a+1}(1-x^3)^{-\frac{2}{3}}dx=\displaystyle\int_0^1 t^{\frac{a+1}{3}}(1-t)^{-\frac{2}{3}}\cdot \frac{1}{3t^{\frac{2}{3}}}dt\\
&   =\frac{1}{3}\displaystyle\int_0^1 t^{\frac{a-1}{3}}(1-t)^{-\frac{2}{3}}dt=\frac{1}{3}B\left(\frac{a+2}{3},\frac{1}{3}\right)\\
&   =\frac{1}{3}\cdot \frac{Γ\left(\frac{a+2}{3}\right)Γ\left(\frac{1}{3}\right)}{Γ\left(\frac{a}{3}+1\right)}=\frac{Γ\left(\frac{1}{3}\right)}{3}\cdot \frac{Γ\left(\frac{a+2}{3}\right)}{Γ\left(\frac{a}{3}+1\right)}\\
\end{alignat}\(I(a)\) を \(a\) で微分します。$$I’(a)=\frac{Γ\left(\frac{1}{3}\right)}{3} \cdot \frac{\frac{1}{3}Γ’\left(\frac{a+2}{3}\right)Γ\left(\frac{a}{3}+1\right)-\frac{1}{3}Γ\left(\frac{a+2}{3}\right)Γ’\left(\frac{a}{3}+1\right)}{\left\{Γ\left(\frac{a}{3}+1\right)\right\}^2}$$\(a=0\) のとき
\begin{alignat}{2}
&I’(0)=\frac{Γ\left(\frac{1}{3}\right)}{3} \cdot \frac{1}{3}\left\{Γ’\left(\frac{2}{3}\right)-Γ\left(\frac{2}{3}\right)Γ’(1)\right\}\\
&    =\frac{1}{9}Γ\left(\frac{1}{3}\right)Γ\left(\frac{2}{3}\right)\left\{ψ\left(\frac{2}{3}\right)-ψ(1)\right\}\\
&    =\frac{1}{9}\cdot \frac{π}{\sin \frac{π}{3}}\left(-γ-\frac{3}{2}\log 3+\frac{π}{2\sqrt{3}}+γ\right)\\
&    =\frac{π}{9}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}\left(\frac{π}{2\sqrt{3}}-\frac{3}{2}\log 3\right)=\frac{π}{3\sqrt{3}}\left(\frac{π}{3\sqrt{3}}-\log 3\right)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{x\log x}{\sqrt[3]{(1-x^3})^2}dx=\frac{π}{3\sqrt{3}}\left(\frac{π}{3\sqrt{3}}-\log 3\right)$$

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