logx/(a^2+b^2x^2)^n[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^1 \frac{\log x}{(1+x)^2}dx=-\log 2\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log x}{(x+a)^2}dx=\frac{\log a}{a}\\
&(3) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log x}{(a^2+b^2x^2)^n}dx=\frac{\sqrt{π}Γ\left(n-\frac{1}{2}\right)}{4a^{2n-1}bΓ(n)}\left\{2 \log \frac{a}{2b}-γ-ψ\left(n-\frac{1}{2}\right)\right\}\\
\end{alignat}ただし、全て \(a,b \gt 0, n \in \mathrm{N}\)







\((1)\) 被積分関数の一部を級数で表し、積分します。
\begin{alignat}{2}
&\frac{1}{(1+x)^2}=\left\{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n\right\}^2=(1-x+x^2-x^3+ \cdots )^2\\
&        =1-2x+3x^2-4x^3+ \cdots =\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}nx^{n-1}\\
\end{alignat}となるので
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^1 \frac{\log x}{(1+x)^2}dx=\displaystyle\int_0^1 \log x\left\{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n\right\}^2dx\\
&             =\displaystyle\int_0^1 \log x\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}nx^{n-1}dx\\
&             =\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}n \displaystyle\int_0^1 x^{n-1}\log xdx\\
&             =\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}n \left(-\frac{1}{n^2}\right)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}=-\log 2
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{\log x}{(1+x)^2}dx=-\log 2$$







\((2)\) 次の定積分を \(I(p)\) と置きます。$$I(p)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^p}{(x+a)^2}dx$$\(I(p)\) を \(p\) で微分します。$$I’(p)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(\log x)x^p}{(x+a)^2}dx$$\(p=0\) とすると$$I’(0)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log x}{(x+a)^2}dx$$となるので \(I’(0)\) を求めます。

\(x=at\) と置きます。\((dx=adt)\)
\begin{alignat}{2}
&I(p)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^p}{(x+a)^2}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(at)^p}{(at+a)^2} \cdot adt=a^{p-1} \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^p}{(t+1)^2}dt\\
&   =a^{p-1}B(p+1,1-p)=a^{p-1}Γ(p+1)Γ(1-p)\\
\end{alignat}\(I(p)\) を \(p\) で微分します。$$I’(p)=(\log a)a^{p-1}Γ(p+1)Γ(1-p)+a^{p-1}Γ’(p+1)Γ(1-p)-a^{p-1}Γ(p+1)Γ’(1-p)$$\(p=0\) のとき$$I’(0)=\frac{\log a}{a}+\frac{Γ’(1)}{a}-\frac{Γ’(1)}{a}=\frac{\log a}{a}$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log x}{(x+a)^2}dx=\frac{\log a}{a}$$







\((3)\) 次の定積分を \(I(p)\) と置きます。$$I(p)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^p}{(a^2+b^2x^2)^n}dx$$\(I(p)\) を \(p\) で微分します。$$I’(p)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(\log x)x^p}{(a^2+b^2x^2)^n}dx$$\(p=0\) とすると$$I’(0)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log x}{(a^2+b^2x^2)^n}dx$$となるので \(I’(0)\) を求めます。

\(\displaystyle x=\frac{a}{b}t\) と置きます。\(\displaystyle \left(dx=\frac{a}{b}dt\right)\)
\begin{alignat}{2}
&I(p)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^p}{(a^2+b^2x^2)^n}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\left(\frac{a}{b}t\right)^p}{(a^2+a^2t^2)^n}\cdot \frac{a}{b}dt\\
&   =\left(\frac{a}{b}\right)^p \cdot \frac{1}{a^{2n-1}b}\displaystyle\int_0^1 \frac{t^p}{(1+t^2)^n}dt\\
\end{alignat}\(t^2=s\) と置きます。\((2tdt=ds)\)
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{a^{2n-1}b}\left(\frac{a}{b}\right)^p\displaystyle\int_0^1 \frac{s^{\frac{p}{2}}}{(1+s)^n}\cdot \frac{1}{2\sqrt{s}}ds\\
&=\frac{1}{2a^{2n-1}b}\left(\frac{a}{b}\right)^p\displaystyle\int_0^1 \frac{s^{\frac{p}{2}-\frac{1}{2}}}{(1+s)^n}ds\\
&=\frac{1}{2a^{2n-1}b}\left(\frac{a}{b}\right)^p\displaystyle\int_0^1 \frac{s^{\frac{p}{2}-\frac{1}{2}}}{(1+s)^n}ds\\
&=\frac{1}{2a^{2n-1}b}\left(\frac{a}{b}\right)^p B\left(\frac{p+1}{2},n-\frac{p+1}{2}\right)\\
&=\frac{1}{2a^{2n-1}b}\left(\frac{a}{b}\right)^p \frac{Γ\left(\frac{p+1}{2}\right)Γ\left(n-\frac{p+1}{2}\right)}{Γ(n)}\\
&=\frac{1}{2a^{2n-1}bΓ(n)}\left(\frac{a}{b}\right)^p Γ\left(\frac{p+1}{2}\right)Γ\left(n-\frac{p+1}{2}\right)\\
\end{alignat}右側の \(p\) の関数を次のように \(J(p)\) と置きます。$$J(p)=\left(\frac{a}{b}\right)^p Γ\left(\frac{p+1}{2}\right)Γ\left(n-\frac{p+1}{2}\right)$$このとき \(I(p)\) は$$I(p)=\frac{1}{2a^{2n-1}bΓ(n)}J(p)$$両辺を \(p\) で微分すると$$I’(p)=\frac{1}{2a^{2n-1}bΓ(n)}J’(p)$$\(J’(p)\) を計算すると$$J’(p)=\left(\log \frac{a}{b}\right)\left(\frac{a}{b}\right)^p Γ\left(\frac{p+1}{2}\right)Γ\left(n-\frac{p+1}{2}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{a}{b}\right)^p Γ’\left(\frac{p+1}{2}\right)Γ\left(n-\frac{p+1}{2}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{a}{b}\right)^p Γ\left(\frac{p+1}{2}\right)Γ’\left(n-\frac{p+1}{2}\right)$$\(p=0\) のとき
\begin{alignat}{2}
&J’(0)=\left(\log \frac{a}{b}\right)Γ\left(\frac{1}{2}\right)Γ\left(n-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}Γ’\left(\frac{1}{2}\right)Γ\left(n-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2} Γ\left(\frac{1}{2}\right)Γ’\left(n-\frac{1}{2}\right)\\
&    =\frac{Γ\left(\frac{1}{2}\right)Γ\left(n-\frac{1}{2}\right)}{2}\left\{2 \log \frac{a}{b} +\frac{Γ’\left(\frac{1}{2}\right)}{Γ\left(\frac{1}{2}\right)}-\frac{Γ’\left(n-\frac{1}{2}\right)}{Γ\left(n-\frac{1}{2}\right)}\right\}\\
&    =\frac{Γ\left(\frac{1}{2}\right)Γ\left(n-\frac{1}{2}\right)}{2}\left\{2 \log \frac{a}{b} +ψ\left(\frac{1}{2}\right)-ψ\left(n-\frac{1}{2}\right)\right\}\\
&    =\frac{Γ\left(\frac{1}{2}\right)Γ\left(n-\frac{1}{2}\right)}{2}\left\{2 \log \frac{a}{b} -2 \log 2 -γ-ψ\left(n-\frac{1}{2}\right)\right\}\\
&    =\frac{Γ\left(\frac{1}{2}\right)Γ\left(n-\frac{1}{2}\right)}{2}\left\{2 \left(\log \frac{a}{b} – \log 2\right) -γ-ψ\left(n-\frac{1}{2}\right)\right\}\\
&    =\frac{Γ\left(\frac{1}{2}\right)Γ\left(n-\frac{1}{2}\right)}{2}\left\{2 \log \frac{a}{2b}-γ-ψ\left(n-\frac{1}{2}\right)\right\}\\
\end{alignat}となるので$$I’(0)=\frac{\sqrt{π}Γ\left(n-\frac{1}{2}\right)}{4a^{2n-1}bΓ(n)}\left\{2 \log \frac{a}{2b}-γ-ψ\left(n-\frac{1}{2}\right)\right\}$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log x}{(a^2+b^2x^2)^n}dx=\frac{\sqrt{π}Γ\left(n-\frac{1}{2}\right)}{4a^{2n-1}bΓ(n)}\left\{2 \log \frac{a}{2b}-γ-ψ\left(n-\frac{1}{2}\right)\right\}$$

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