logx/(a+logx)^2[0,1]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^1 \frac{\log x}{(a+\log x)^2}dx=1+(1-a)e^{-a}E_i(a)\\
&(2) \displaystyle\int_0^1 \frac{\log x}{(a-\log x)^2}dx=1+(1+a)e^aE_i(-a)\\
&(3)  \displaystyle\int_1^e \frac{\log x}{(1+\log x)^2}dx=\frac{e}{2}-1
\end{alignat}ただし、全て \(a \gt 0\)








<証明>

\((1)\) \(a+\log x=t\) と置きます。このとき$$\log x=t-a,  x=e^{t-a},  dx=e^{t-a}dt$$となるので
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^1 \frac{\log x}{(a+\log x)^2}dx\\
&=\displaystyle\int_{-\infty}^a \frac{t-a}{t^2} \cdot e^{t-a}dt=e^{-a}\displaystyle\int_{-\infty}^a \left(\frac{1}{t}-\frac{a}{t^2}\right)e^tdt\\
&=e^{-a}\left(\displaystyle\int_{-\infty}^a \frac{e^t}{t}dt-a\displaystyle\int_{-\infty}^a \frac{e^t}{t^2}dt\right)\\
&=e^{-a}E_i(a)-ae^{-a}\left(\left[-\frac{e^t}{t}\right]_{-\infty}^a+\displaystyle\int_{-\infty}^a \frac{e^t}{t}dt\right)\\
&=e^{-a}E_i(a)-ae^{-a}\left\{-\frac{e^a}{a}+E_i(a)\right\}\\
&=e^{-a}E_i(a)+1-ae^{-a}E_i(a)\\
&=1+(1-a)e^{-a}E_i(a)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{\log x}{(a+\log x)^2}dx=1+(1-a)e^{-a}E_i(a)$$







\((1)\) \(a-\log x=t\) と置きます。このとき$$\log x=a-t,  x=e^{a-t},  dx=-e^{a-t}dt$$となるので
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^1 \frac{\log x}{(a-\log x)^2}dx\\
&=\displaystyle\int_{\infty}^a \frac{a-t}{t^2} \cdot (-e^{a-t})dt=e^a\displaystyle\int_a^{\infty} \left(\frac{a}{t^2}-\frac{1}{t^2}\right)e^{-t}dt\\
&=e^a\left(-\displaystyle\int_a^{\infty} \frac{e^{-t}}{t}dt+a\displaystyle\int_a^{\infty} \frac{e^{-t}}{t^2}dt\right)\\
&=e^a E_i(-a)+ae^a\left(\left[-\frac{e^{-t}}{t}\right]_a^{\infty}-\displaystyle\int_a^{\infty} \frac{e^{-t}}{t}dt\right)\\
&=e^aE_i(-a)+ae^a\left\{\frac{e^{-a}}{a}+E_i(-a)\right\}\\
&=e^aE_i(-a)+1+ae^a E_i(-a)\\
&=1+(1+a)e^aE_i(-a)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{\log x}{(a-\log x)^2}dx=1+(1+a)e^aE_i(-a)$$







\((3)\) \(1+\log x=t\) と置きます。このとき$$\log x=t-1,  x=e^{t-1},  dx=e^{t-1}dt$$となるので
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_1^e \frac{\log x}{(1+\log x)^2}dx\\
&=\displaystyle\int_1^2 \frac{t-1}{t^2} \cdot e^{t-1}dt=\frac{1}{e}\displaystyle\int_1^2 \left(\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}\right)e^tdt\\
&=\frac{1}{e}\displaystyle\int_1^2 \left(\frac{e^t}{t}\right)’dt=\frac{1}{e}\left[\frac{e^t}{t}\right]_1^2=\frac{1}{e}\left(\frac{e^2}{2}-e\right)=\frac{e}{2}-1\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_1^e \frac{\log x}{(1+\log x)^2}dx=\frac{e}{2}-1$$

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