log(x/a){x^p/(a^{2p}+x^{2p})}1/xdx[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \log \frac{x}{a}\left(\frac{x^p}{a^{2p}+x^{2p}}\right)\frac{1}{x}dx=0\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} \log \frac{x}{a}\left(\frac{x^p}{a^{2p}+x^{2p}}\right)^r\frac{1}{a^2+x^2}dx=0\\
\end{alignat}ただし、全て \(a \gt 0\)









<証明>

\((1)\) \(x=at\) と置きます。\((dx=adt)\)
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} \log \frac{x}{a}\left(\frac{x^p}{a^{2p}+x^{2p}}\right)\frac{1}{x}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{p-1}(\log x-\log a)}{a^{2p}+x^{2p}}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(at)^{p-1}(\log at-\log a)}{a^{2p}+(at)^{2p}} \cdot adt=\frac{1}{a^p}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{p-1} \log t}{1+t^{2p}}dt\\
\end{alignat}ここで次の定積分を用います。(詳細はこちらです。)$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{p-1}\log x}{1+x^q}dx=-\frac{π^2}{q^2} \cdot \frac{\cos \frac{pπ}{q}}{\sin^2 \frac{pπ}{q}}  (0 \lt p \lt q)$$上記の式において \(q=2p\) とすると$$\displaystyle\int_0^{\infty} \log \frac{x}{a}\left(\frac{x^p}{a^{2p}+x^{2p}}\right)\frac{1}{x}dx=\frac{1}{a^p}\left(-\frac{π^2}{4p^2}\right)\cdot \frac{\cos \frac{π}{2}}{\sin^2 \frac{π}{2}}=0$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \log \frac{x}{a}\left(\frac{x^p}{a^{2p}+x^{2p}}\right)\frac{1}{x}dx=0$$







\((2)\) \(x=at\) と置きます。\((dx=adt)\)
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} \log \frac{x}{a}\left(\frac{x^p}{a^{2p}+x^{2p}}\right)^r\frac{1}{a^2+x^2}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{pr}(\log x-\log a)}{(a^{2p}+x^{2p})^r(a^2+x^2)}dx\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(at)^{pr}(\log at-\log a)}{\{a^{2p}+(at)^{2p}\}^r(a^2+a^2t^2)} \cdot adt=\frac{1}{a^{pr+1}}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{pr} \log t }{(1+t^{2p})^r(1+t^2)}dt\\
\end{alignat}積分区間を \(1\) を境に切り離します。$$=\frac{1}{a^{pr+1}}\left\{\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{pr} \log t }{(1+t^{2p})^r(1+t^2)}dt+\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{t^{pr} \log t }{(1+t^{2p})^r(1+t^2)}dt\right\}$$右側の積分について \(\displaystyle t=\frac{1}{s}\) と置きます。\(\displaystyle \left( dt=-\frac{1}{s^2}ds\right)\)
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_1^{\infty} \frac{t^{pr} \log t }{(1+t^{2p})^r(1+t^2)}dt=\displaystyle\int_1^0 \frac{s^{-pr} (-\log s) }{(1+s^{-2p})^r(1+s^{-2})}\left(-\frac{1}{s^2}\right)ds\\
&=-\displaystyle\int_0^1 \frac{s^{-pr} \log s}{s^{-2pr}(s^{2p}+1)^r(s^2+1)}=-\displaystyle\int_0^1 \frac{s^{pr} \log s }{(1+s^{2p})^r(1+s^2)}ds\\
\end{alignat}よって、元の積分計算は
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^{\infty} \log \frac{x}{a}\left(\frac{x^p}{a^{2p}+x^{2p}}\right)^r\frac{1}{a^2+x^2}dx\\
&=\frac{1}{a^{pr+1}}\left\{\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{pr} \log t }{(1+t^{2p})^r(1+t^2)}dt-\displaystyle\int_0^1 \frac{s^{pr} \log s }{(1+s^{2p})^r(1+s^2)}ds\right\}=0\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \log \frac{x}{a}\left(\frac{x^p}{a^{2p}+x^{2p}}\right)^r\frac{1}{a^2+x^2}dx=0$$

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