(logx)/√((logx)^2-1)[0,1/e]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\frac{1}{e}} \frac{1}{\sqrt{(\log x)^2-1}}dx=K_0(1)\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\frac{1}{e}} \frac{\log x}{\sqrt{(\log x)^2-1}}dx=-K_1(1)\\
&(3)  \displaystyle\int_0^{\frac{1}{e}} \frac{(\log x)^2}{\sqrt{(\log x)^2-1}}dx=\frac{1}{2}K_0(1)+\frac{1}{2}K_2(1)\\
&(4)  \displaystyle\int_0^{\frac{1}{e}} \frac{(\log x)^3}{\sqrt{(\log x)^2-1}}dx=-\frac{3}{4}K_1(1)-\frac{1}{4}K_3(1)\\
\end{alignat}








<証明>

次の変形ベッセル関数の定積分を用います。$$K_v(z)=\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-z \cosh t} \cosh vtdt$$



全て、次の順番で置き換えます。

\((A)\) \(x=e^{-t}\) と置きます。\((dx=-e^{-t}dt)\)

\((B)\) \(t=\cosh s\) と置きます。\((dt=\sinh s ds)\)




\begin{alignat}{2}
(1)  \displaystyle\int_0^{\frac{1}{e}} \frac{1}{\sqrt{(\log x)^2-1}}dx&=\displaystyle\int_{\infty}^1 \frac{1}{\sqrt{t^2-1}} \cdot (-e^{-t})dt\\
&=\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{e^{-t}}{\sqrt{t^2-1}}dt=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{e^{-\cosh s}}{\sqrt{\cosh^2 s-1}} \cdot \sinh sds\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-\cosh s}ds=K_0(1)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{1}{e}} \frac{1}{\sqrt{(\log x)^2-1}}dx=K_0(1)$$







\begin{alignat}{2}
(2)  \displaystyle\int_0^{\frac{1}{e}} \frac{\log x}{\sqrt{(\log x)^2-1}}dx&=\displaystyle\int_{\infty}^1 \frac{-t}{\sqrt{t^2-1}} \cdot (-e^{-t})dt=-\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{te^{-t}}{\sqrt{t^2-1}}dt\\
&=-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cosh s \cdot e^{-\cosh s}}{\sqrt{\cosh^2 s-1}} \cdot \sinh sds\\
&=-\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-\cosh s} \cosh s ds=-K_1(1)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{1}{e}} \frac{\log x}{\sqrt{(\log x)^2-1}}dx=-K_1(1)$$







\begin{alignat}{2}
(3)  \displaystyle\int_0^{\frac{1}{e}} \frac{(\log x)^2}{\sqrt{(\log x)^2-1}}dx&=\displaystyle\int_{\infty}^1 \frac{t^2}{\sqrt{t^2-1}} \cdot (-e^{-t})dt=\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{t^2e^{-t}}{\sqrt{t^2-1}}dt\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cosh^2 s \cdot e^{-\cosh s}}{\sqrt{\cosh^2 s-1}} \cdot \sinh sds\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-\cosh s} \cosh^2 s ds\\
&=\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-\cosh s} \cdot \frac{1+\cosh 2s}{2} ds\\
&=\frac{1}{2}\left(\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-\cosh s} ds+\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-\cosh s} \cosh 2s ds\right)\\
&=\frac{1}{2}K_0(1)+\frac{1}{2}K_2(1)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{1}{e}} \frac{(\log x)^2}{\sqrt{(\log x)^2-1}}dx=\frac{1}{2}K_0(1)+\frac{1}{2}K_2(1)$$







\begin{alignat}{2}
(4)  \displaystyle\int_0^{\frac{1}{e}} \frac{(\log x)^3}{\sqrt{(\log x)^2-1}}dx&=-\displaystyle\int_{\infty}^1 \frac{t^3}{\sqrt{t^2-1}} \cdot (-e^{-t})dt=\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{t^2e^{-t}}{\sqrt{t^2-1}}dt\\
&=-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\cosh^3 s \cdot e^{-\cosh s}}{\sqrt{\cosh^2 s-1}} \cdot \sinh sds\\
&=-\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-\cosh s} \cosh^3 s ds\\
&=-\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-\cosh s} \cdot \frac{3 \cosh s +\cosh 3s}{4} ds\\
&=-\frac{1}{4}\left(3\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-\cosh s} \cosh sds+\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-\cosh s} \cosh 3s ds\right)\\
&=-\frac{3}{4}K_1(1)-\frac{1}{4}K_3(1)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{1}{e}} \frac{(\log x)^3}{\sqrt{(\log x)^2-1}}dx=-\frac{3}{4}K_1(1)-\frac{1}{4}K_3(1)$$

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