logx/(x^2+2axcost+a^2)[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(\log x)^n x^{μ-1}}{x^2+2ax\cos t +a^2}dx=-\frac{π}{\sin t} \cdot \frac{d^n}{dμ^n} \left\{\frac{a^{μ-2} \sin (μ-1)t}{\sin μπ}\right\}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log x}{x^2+2ax\cos t +a^2}dx=\frac{t \log a}{a \sin t}\\
\end{alignat}ただし、全て \(a \gt 0,\,\,\,\,0 \lt t \lt π,\,\,\,\,0 \lt μ \lt 2,\,\,\,\,n \in \mathrm{N}\)













<証明>

次の定積分の結果を用います。(詳細はこちらです)$$(A)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{x^2+2ax \cos t +a^2}dx=-πa^{μ-2} \csc μπ \csc t \sin (μ-1)t$$ただし \(a \gt 0,\,|t| \lt π,\,0 \lt μ \lt 2\)





\((1)\) 次の \((A)\) の式について$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{x^2+2ax \cos t +a^2}dx=-\frac{π}{\sin t} \cdot \frac{a^{μ-2} \sin (μ-1)t}{\sin μπ}$$両辺を \(μ\) で \(n\) 回微分します。以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(\log x)^n x^{μ-1}}{x^2+2ax\cos t +a^2}dx=-\frac{π}{\sin t} \cdot \frac{d^n}{dμ^n} \left\{\frac{a^{μ-2} \sin (μ-1)t}{\sin μπ}\right\}$$








\((2)\) \((1)\) で \(n=1\) とします。$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(\log x) x^{μ-1}}{x^2+2ax\cos t +a^2}dx=-\frac{π}{\sin t} \cdot \frac{d}{dμ}\frac{a^{μ-2} \sin (μ-1)t}{\sin μπ}$$\(μ \to 1\) とすると$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log x}{x^2+2ax\cos t +a^2}dx=-\frac{π}{\sin t} \cdot \displaystyle\lim_{μ \to 1}\frac{d}{dμ}\frac{a^{μ-2} \sin (μ-1)t}{\sin μπ}$$であるので、上記の右辺を計算していきます。
\begin{alignat}{2}
\frac{d}{dμ}\frac{a^{μ-2} \sin (μ-1)t}{\sin μπ}&= \frac{\{(\log a) a^{μ-2} \sin (μ-1)t+a^{μ-2} \cdot t \cos (μ-1)t \}\sin μπ-a^{μ-2} \sin (μ-1)t \cdot π \cos μπ}{\sin^2 μπ}\\
&=a^{μ-2} \frac{\{(\log a)\sin (μ-1)t+t \cos (μ-1)t \}\sin μπ- π\sin (μ-1)t \cos μπ}{\sin^2 μπ}\\
\end{alignat}\(μ \to 1\) とします。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\lim_{μ \to 1}\frac{d}{dμ}\frac{a^{μ-2} \sin (μ-1)t}{\sin μπ}&=\displaystyle\lim_{μ \to 1}a^{μ-2} \frac{\{(\log a)\sin (μ-1)t+t \cos (μ-1)t \}\sin μπ- π\sin (μ-1)t \cos μπ}{\sin^2 μπ} \\
&=\frac{1}{a}\displaystyle\lim_{μ \to 1}\frac{\{(\log a)\sin (μ-1)t+t \cos (μ-1)t \}\sin μπ- π\sin (μ-1)t \cos μπ}{\sin^2 μπ}\\
&=\frac{1}{a}\displaystyle\lim_{μ \to 1}\frac{(\log a)\sin (μ-1)t \sin μπ+t \cos (μ-1)t \sin μπ- π\sin (μ-1)t \cos μπ}{\sin^2 μπ}\\
\end{alignat}ロピタルの定理を用いますが、式が長くなるので分けて微分していきます。

\((α)\) 分子の微分
\begin{alignat}{2}
(\log a) \{\sin (μ-1)t \sin μπ\}’&=(\log a)\{t \cos (μ-1)t \sin μπ+π \sin (μ-1)t \cos μπ\}\\
&\\
t \{\cos (μ-1)t \sin μπ\}’&=t\{-t \sin (μ-1)t \sin μπ+π \cos (μ-1)t \cos μπ\}\\
&\\
-π\{\sin (μ-1)t \cos μπ\}’&=-π\{t \cos (μ-1)t \cos μπ-π \sin(μ-1)t \sin μπ\}\\
\end{alignat}これらを足し合わせます。よって分子は$$t(\log a)\cos (μ-1)t \sin μπ+π(\log a) \sin (μ-1)t \cos μπ+(π^2-t^2)\sin(μ-1)t \sin μπ $$

\((β)\) 分母の微分$$(\sin^2 μπ)’=2 \sin μπ \cdot π \cos μπ=π \sin 2μπ$$
すなわち$$\displaystyle\lim_{μ \to 1}\frac{d}{dμ}\frac{a^{μ-2} \sin (μ-1)t}{\sin μπ}=\frac{1}{πa}\displaystyle\lim_{μ \to 1} \frac{t(\log a)\cos (μ-1)t \sin μπ+π(\log a) \sin (μ-1)t \cos μπ+(π^2-t^2)\sin(μ-1)t \sin μπ}{\sin 2μπ}$$

もう一度、ロピタルの定理を用います。

まだ分子の式が長いので、式を分けて微分します。
\begin{alignat}{2}
t(\log a)\{\cos (μ-1)t \sin μπ\}’&=t(\log a)\{-t \sin (μ-1)t \sin μπ+π \cos (μ-1)t \cos μπ\}\\
&\\
π(\log a) \{\sin (μ-1)t \cos μπ\}’&=π(\log a)\{t \cos (μ-1)t \cos μπ-π \sin (μ-1)t \sin μπ\}\\
&\\
(π^2-t^2)\{\sin(μ-1)t \sin μπ\}’&=(π^2-t^2)\{t \cos (μ-1)t \sin μπ +π \sin (μ-1)t \cos μπ\}\\
\end{alignat}

\(μ \to 1\) とします。(今回は分子と分母は共に \(0\) にならない)
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\lim_{μ \to 1}t(\log a)\{\cos (μ-1)t \sin μπ\}’&=t(\log a)\displaystyle\lim_{μ \to 1}\{-t \sin (μ-1)t \sin μπ+π \cos (μ-1)t \cos μπ\}=-πt \log a\\
&\\
\displaystyle\lim_{μ \to 1}π(\log a) \{\sin (μ-1)t \cos μπ\}’&=π(\log a)\displaystyle\lim_{μ \to 1}\{t \cos (μ-1)t \cos μπ-π \sin (μ-1)t \sin μπ\}=-πt \log a\\
&\\
\displaystyle\lim_{μ \to 1}(π^2-t^2)\{\sin(μ-1)t \sin μπ\}’&=(π^2-t^2)\displaystyle\lim_{μ \to 1}\{t \cos (μ-1)t \sin μπ +π \sin (μ-1)t \cos μπ\}=0\\
\end{alignat}
分母については$$\displaystyle\lim_{μ \to 1} (\sin 2μπ)’=\displaystyle\lim_{μ \to 1} 2π \cos 2μπ=2π$$
よって$$\displaystyle\lim_{μ \to 1}\frac{d}{dμ}\frac{a^{μ-2} \sin (μ-1)t}{\sin μπ}=\frac{1}{πa} \cdot \frac{-2πt \log a}{2π}=-\frac{t \log a}{πa}$$これを元の式に代入します。$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log x}{x^2+2ax\cos t +a^2}dx=-\frac{π}{\sin t} \cdot \displaystyle\lim_{μ \to 1}\frac{d}{dμ}\frac{a^{μ-2} \sin (μ-1)t}{\sin μπ}=-\frac{π}{\sin t} \cdot \left(-\frac{t \log a}{πa}\right)=\frac{t \log a}{a \sin t}$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log x}{x^2+2ax\cos t +a^2}dx=\frac{t \log a}{a \sin t}$$

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