logx/(x^2+a^2)[0,∞]の定積分

$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log x}{x^2+a^2}dx=\frac{π}{2a}\log a$$








<証明>

下の図のように \(A \to B \to C \to D \to A\) に沿った(反時計回り)積分路において複素積分を行います。 \(\displaystyle f(z)=\frac{\log z}{z^2+a^2}\)とします。

このとき、半ドーナツの内部に含まれる特異点は \(z=ia\) のみであり、
これは1位の極だから、この留数を計算すると
\begin{alignat}{2}
&Res(f(z),ia)=\displaystyle\lim_{z \to ia} (z-ia)\cdot \frac{\log z}{z^2+a^2}\\
&          =\displaystyle\lim_{z \to ia} \frac{\log z}{z+ia}=\frac{\log ia}{2ia}\\
&          =\frac{ \log a+\log i}{2ia}=\frac{ \log a+\frac{π}{2}i}{2ia}
\end{alignat}よって、周回積分の値は$$\displaystyle\oint_C f(z)dz=2πi \cdot \frac{\log a+\frac{π}{2}i}{2ia}=\frac{π}{a} \log a+\frac{π^2}{2a}i=2 \cdot \frac{π}{2a} \log a+πi \cdot \frac{π}{2a}$$
次にそれぞれの積分路における積分の計算をします。$$\displaystyle\oint_C=\displaystyle\int_{C_1}+\displaystyle\int_{C_2}+\displaystyle\int_{C_3}+\displaystyle\int_{C_4}$$
\((A)\) \(C_2+C_4\) について \(C_2\) は \(x=-t\) と置きます。\((dx=-dt)\)
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_{C_4}f(z)dz+\displaystyle\int_{C_2}f(z)dz\\
&=\displaystyle\int_r^R \frac{\log x}{x^2+a^2}dx+\displaystyle\int_{-R}^{-r} \frac{\log x}{x^2+a^2}dx\\
&=\displaystyle\int_r^R \frac{\log x}{x^2+a^2}dx+\displaystyle\int_R^r \frac{\log (-t)}{t^2+a^2}(-dt)\\
&=\displaystyle\int_r^R \frac{\log x}{x^2+a^2}dx+\displaystyle\int_r^R \frac{\log (-x)}{x^2+a^2}dx\\
&=\displaystyle\int_r^R \frac{\log x}{x^2+a^2}dx+\displaystyle\int_r^R \frac{\log (-1)+ \log x}{x^2+a^2}dx\\
&=\displaystyle\int_r^R \frac{\log x}{x^2+a^2}dx+\displaystyle\int_r^R \frac{πi+ \log x}{x^2+a^2}dx\\
&=2\displaystyle\int_r^R \frac{\log x}{x^2+a^2}dx+πi\displaystyle\int_r^R \frac{1}{x^2+a^2}dx\\
\end{alignat}\(R \to \infty, r \to 0\) とすると$$\displaystyle\lim_{R \to \infty,r \to 0}\left\{\displaystyle\int_{C_4}f(z)dz+\displaystyle\int_{C_2}f(z)dz\right\}=2\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log x}{x^2+a^2}dx+πi\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{x^2+a^2}dx$$

\((B)\) \(C_1\) について \(z=Re^{iθ}\) と置きます。\((dz=iRe^{iθ}dθ)\)
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_{C_1} f(z)dx=\displaystyle\int_{C_1}\frac{\log z}{z^2+a^2}dz=\displaystyle\int_0^π \frac{\log Re^{iθ}}{R^2e^{2iθ}+a^2}\cdot iRe^{iθ}dθ\\
&         =\displaystyle\int_0^π \frac{\log R+iθ}{R^2e^{2iθ}+a^2}\cdot iRe^{iθ}dθ
\end{alignat}絶対値をつけて積分値を評価します。
\begin{alignat}{2}
&\left|\displaystyle\int_{C_1}f(z)dz\right| \leq \displaystyle\int_0^π \frac{\log R+θ}{R^2-a^2}\cdot Rdθ=\frac{R}{R^2-a^2}\displaystyle\int_0^π (\log R +θ)dθ\\
&          =\frac{R}{R^2-a^2}\left[θ \log R +\frac{1}{2}θ^2\right]_0^π=\frac{R}{R^2-a^2}\left(π \log R +\frac{π^2}{2}\right)
\end{alignat}よって \(R \to \infty\) とすると$$\displaystyle\lim_{R \to \infty}\displaystyle\int_{C_1}f(z)dz=0$$\(C_3\) も \(C_1\) と同様に計算できて
\(R\) を \(r\) として \(r \to 0\) とすればよいから$$\displaystyle\lim_{r \to 0}\displaystyle\int_{C_3}f(z)dz=\displaystyle\lim_{r \to 0}\left\{\frac{r}{r^2-a^2}\left(π \log r +\frac{π^2}{2}\right)\right\}=0$$

以上より、複素積分の結果で得られる式は次のようになります。$$2\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log x}{x^2+a^2}dx+πi\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{1}{x^2+a^2}dx=2 \cdot \frac{π}{2a} \log a+πi \cdot \frac{π}{2a}$$
実部と虚部を比較します。(虚部の比較によって得られる式は通常の積分で容易に得られます。)$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log x}{x^2+a^2}dx=\frac{π}{2a}\log a$$

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