logx/x^2√(x^2-1)[1,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{\log x}{\sqrt{1-x^2}}dx=-\frac{π}{4}\log 2-\frac{1}{2}G\\
&(2) \displaystyle\int_0^1 \frac{\log x}{\sqrt{1-x^2}}dx=-\frac{π}{2}\log 2\\
&(3) \displaystyle\int_1^{\infty} \frac{\log x}{x^2 \sqrt{x^2-1}}dx=1-\log 2
\end{alignat}





<証明>

次の定積分の結果を用います。(詳細はこちらです。(A)(B))
\begin{alignat}{2}
&(A) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \log (\sin x)dx=-\frac{π}{4}\log 2-\frac{1}{2}G\\
&(B) \displaystyle\int_0^1 \frac{x \log x}{\sqrt{1-x^2}}dx=\log 2-1
\end{alignat}




\((1)\) \(x=\sin t\) と置きます。\((dx= \cos tdt)\)$$\displaystyle\int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{\log x}{\sqrt{1-x^2}}dx=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \log (\sin t)dt=-\frac{π}{4}\log 2-\frac{1}{2}G$$








\((2)\) \(x=\sin t\) と置きます。\((dx= \cos tdt)\)$$\displaystyle\int_0^1 \frac{\log x}{\sqrt{1-x^2}}dx=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \log (\sin t)dt=-\frac{π}{2}\log 2$$







\((3)\) \(\displaystyle x=\frac{1}{t}\) と置きます。\(\displaystyle \left( dx=-\frac{1}{t^2}dt\right)\)
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{\log x}{x^2 \sqrt{x^2-1}}dx=\displaystyle\int_1^0 \frac{- \log t}{\frac{1}{t^2} \sqrt{\frac{1}{t^2}-1}}\left(-\frac{1}{t^2}\right)dt=-\displaystyle\int_0^1 \frac{t \log t}{\sqrt{1-t^2}}dt\\
&               =-(\log 2-1)=1- \log 2
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{\log x}{x^2 \sqrt{x^2-1}}dx=1-\log 2$$

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です