logx/x^p(x^q-1)[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{p-1}\log x}{1-x^q}dx=-\frac{π^2}{q^2} \cdot \frac{1}{\sin^2 \frac{pπ}{q}}  (0 \lt p \lt q)\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log x}{x^p(x^q-1)}dx=\frac{π^2}{q^2}\cdot \frac{1}{\sin^2\left(\frac{p-1}{q}\right)π}  (p \lt 1,p+q \gt 1)\\
&(3) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{p-1}\log x}{1+x^q}dx=-\frac{π^2}{q^2} \cdot \frac{\cos \frac{pπ}{q}}{\sin^2 \frac{pπ}{q}}  (0 \lt p \lt q)\\
\end{alignat}










<証明>

\((1)\) 次の定積分を \(I(p)\) と置きます。$$I(p)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{p-1}}{1-x^q}dx$$\(I(p)\) を \(p\) で微分します。$$I’(p)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{p-1}\log x}{1-x^q}dx$$となるので \(I’(p)\) を求めます。

\(x^q=t\) と置きます。\((qx^{q-1}dx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&I(p)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{p-1}}{1-x^q}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{\frac{p-1}{q}}}{1-t} \cdot \frac{1}{qt^{\frac{q-1}{q}}}dt\\
&   =\frac{1}{q}\displaystyle\int _0^{\infty} \frac{t^{\frac{p}{q}-1}}{1-t}dt=\frac{1}{q} \cdot π\cot \frac{pπ}{q}\\
\end{alignat}\(I(p)\) を \(p\) で微分します。$$I’(p)=\frac{1}{q}\cdot π\left(-\frac{π}{q}\cdot \frac{1}{\sin^2 \frac{pπ}{q}}\right)=-\frac{π^2}{q^2} \cdot \frac{1}{\sin^2 \frac{pπ}{q}}$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{p-1}\log x}{1-x^q}dx=-\frac{π^2}{q^2} \cdot \frac{1}{\sin^2 \frac{pπ}{q}}$$







\((2)\) 次の定積分を \(I(p)\) と置きます。$$I(p)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{-p}}{x^q-1}dx$$\(I(p)\) を \(p\) で微分します。$$I’(p)=-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(\log x)x^{-p}}{x^q-1}dx=-\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log x}{x^p(x^q-1)}dx$$となるので \(I’(p)\) を求めます。

\(x^q=t\) と置きます。\((qx^{q-1}dx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&I(p)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{-p}}{x^q-1}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{-\frac{p}{q}}}{t-1} \cdot \frac{1}{qt^{\frac{q-1}{q}}}dt\\
&   =\frac{1}{q}\displaystyle\int _0^{\infty} \frac{t^{\frac{1-p}{q}-1}}{t-1}dt=-\frac{1}{q}\displaystyle\int _0^{\infty} \frac{t^{\frac{1-p}{q}-1}}{1-t}dt=-\frac{1}{q} \cdot π\cot \left(\frac{1-p}{q}\right)π
\end{alignat}\(I(p)\) を \(p\) で微分します。$$I’(p)=-\frac{π}{q}\left\{\frac{π}{q}\cdot \frac{1}{\sin^2 \left(\frac{1-p}{q}\right)π}\right\}=-\frac{π^2}{q^2}\cdot \frac{1}{\sin^2\left(\frac{p-1}{q}\right)π}$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{\log x}{x^p(x^q-1)}dx=\frac{π^2}{q^2}\cdot \frac{1}{\sin^2\left(\frac{p-1}{q}\right)π}$$







\((3)\) 次の定積分を \(I(p)\) と置きます。$$I(p)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{p-1}}{1+x^q}dx$$\(I(p)\) を \(p\) で微分します。$$I’(p)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{p-1}\log x}{1+x^q}dx$$となるので \(I’(p)\) を求めます。

\(x^q=t\) と置きます。\((qx^{q-1}dx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&I(p)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{p-1}}{1+x^q}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{\frac{p-1}{q}}}{1+t} \cdot \frac{1}{qt^{\frac{q-1}{q}}}dt\\
&   =\frac{1}{q}\displaystyle\int _0^{\infty} \frac{t^{\frac{p}{q}-1}}{1+t}dt=\frac{1}{q} B\left(\frac{p}{q},1-\frac{p}{q}\right)=\frac{1}{q}\cdot \frac{π}{\sin \frac{pπ}{q}}\\
\end{alignat}\(I(p)\) を \(p\) で微分します。$$I’(p)=\frac{1}{q}\left(-\frac{π}{q}\right) \cdot \frac{1}{\sin^2 \frac{pπ}{q}} \cdot \cos \frac{pπ}{q}=-\frac{π^2}{q^2} \cdot \frac{\cos \frac{pπ}{q}}{\sin^2 \frac{pπ}{q}}$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{p-1}\log x}{1+x^q}dx=-\frac{π^2}{q^2} \cdot \frac{\cos \frac{pπ}{q}}{\sin^2 \frac{pπ}{q}}$$

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