(logx)^2/(1+x^2)[0,1]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^2}{(1-x)^2}dx=\frac{π^2}{3}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(\log x)^2}{(1-x)^2}dx=\frac{2}{3}π^2\\
&(3)  \displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^2}{1+x^2}dx=\frac{π^3}{16}\\
&(4)  \displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^2}{1+x}dx=\frac{3}{2}ζ(3)\\
&(5)  \displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^2}{1-x}dx=2ζ(3)\\
&(6)  \displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^2}{1-x^2}dx=\frac{7}{4}ζ(3)\\
\end{alignat}










<証明>

\((3)\) では次の級数の結果を用いています。(詳細はこちらです)$$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^3}=1-\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}-\frac{1}{7^3}+\frac{1}{9^3}- \cdots =\frac{π^3}{32}$$



また予め、次の定積分を計算しておきます。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^1 x^n (\log x)^2dx&=\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}(\log x)\right]_0^1 -\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{2 \log x}{x}dx\\
&=-\frac{2}{n+1} \displaystyle\int_0^1 x^n \log xdx\\
&=-\frac{2}{n+1}\left\{\left[\frac{x^{n+1}}{n+1} \log x\right]_0^1 -\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{1}{x}dx\right\}\\
&=\frac{2}{(n+1)^2} \displaystyle\int_0^1 x^ndx=\frac{2}{(n+1)^2}\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^1=2 \cdot \frac{π^2}{6}=\frac{2}{(n+1)^3}\\
\end{alignat}よって$$\displaystyle\int_0^1 x^n (\log x)^2dx=\frac{2}{(n+1)^3}$$






\begin{alignat}{2}
(1)  \displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^2}{(1-x)^2}dx&=\displaystyle\int_0^1 (\log x)^2\left(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} nx^{n-1}\right)dx\\
&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n \displaystyle\int_0^1 x^{n-1}(\log x)^2dx\\
&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n \cdot \frac{2}{n^3}=2 \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{π^2}{3}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^2}{(1-x)^2}dx=\frac{π^2}{3}$$







\((3)\) 積分区間を \(1\) を境に切り離します。$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(\log x)^2}{(1-x)^2}dx=\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^2}{(1-x)^2}dx\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{(\log x)^2}{(1-x)^2}dx$$右側の積分について \(\displaystyle x=\frac{1}{t}\) と置きます。\(\displaystyle \left(dx=-\frac{1}{t^2}dt\right)\)$$\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{(\log x)^2}{(1-x)^2}dx=\displaystyle\int_1^0 \frac{(-\log t)^2}{\left(1-\frac{1}{t}\right)^2}\left(-\frac{1}{t^2}\right)dt=\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log t)^2}{(1-t)^2}dt$$よって \((1)\) の結果を用いれば$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(\log x)^2}{(1-x^2)}dx=\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^2}{(1-x)^2}dx+\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log t)^2}{(1-t)^2}dt=2\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^2}{(1-x)^2}dx=2 \cdot \frac{π^2}{3}=\frac{2}{3}π^2$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(\log x)^2}{(1-x)^2}dx=\frac{2}{3}π^2$$






\begin{alignat}{2}
(3)  \displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^2}{1+x^2}dx&=\displaystyle\int_0^1 (\log x)^2 \left\{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}\right\}dx\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \displaystyle\int_0^1 x^{2n}(\log x)^2dx\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{2}{(2n+1)^3}\\
&=2 \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^3}=2 \cdot \frac{π^3}{32}=\frac{π^3}{16}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^2}{1+x^2}dx=\frac{π^3}{16}$$







\begin{alignat}{2}
(4)  \displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^2}{1+x}dx&=\displaystyle\int_0^1 (\log x)^2 \left\{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{n}\right\}dx\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \displaystyle\int_0^1 x^{n}(\log x)^2dx\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{2}{(n+1)^3}=2 \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(n+1)^3}\\
&=2η(3)=2 \cdot \frac{3}{4}ζ(3)=\frac{3}{2}ζ(3)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^2}{1+x}dx=\frac{3}{2}ζ(3)$$







\begin{alignat}{2}
(5)  \displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^2}{1-x}dx&=\displaystyle\int_0^1 (\log x)^2 \left(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}\right)dx\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \displaystyle\int_0^1 x^{n}(\log x)^2dx\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{(n+1)^3}=2 \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^3}=2ζ(3)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^2}{1-x}dx=2ζ(3)$$







\begin{alignat}{2}
(6)  \displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^2}{1-x^2}dx&=\displaystyle\int_0^1 (\log x)^2 \left(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} x^{2n}\right)dx\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \displaystyle\int_0^1 x^{2n}(\log x)^2dx\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{(2n+1)^3}=2 \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^3}=2 \cdot \frac{7}{8}ζ(3)=\frac{7}{4}ζ(3)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^2}{1-x^2}dx=\frac{7}{4}ζ(3)$$

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