(logx)^2/(x^2-x+1)[0,1]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^2}{x^2-x+1}dx=\frac{10}{81\sqrt{3}}π^3\\
&(2) \displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^2}{x^2+x+1}dx=\frac{8}{81\sqrt{3}}π^3\\
&(3) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{( \log x)^2}{x^2-x+1}dx=\frac{20}{81\sqrt{3}}π^3\\
&(4) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{( \log x)^2}{x^2+x+1}dx=\frac{16}{81\sqrt{3}}π^3\\
\end{alignat}







<証明>

\((3)\) 次の定積分を \(I(a)\) と置きます。$$I(a)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^a}{x^2-x+1}dx$$\(I(a)\) を \(a\) で \(2\) 回微分します。$$I’’(a)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(\log x)^2 x^a}{x^2-x+1}dx$$\(a=0\) とすると$$I’’(0)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(\log x)^2}{x^2-x+1}dx$$となるので \(I’’(0)\) を求めます。

分子と分母に \(x+1\) を掛けて \(x^3=t\) と置きます。\((3x^2dx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&I(a)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^a}{x^2-x+1}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(x+1)x^a}{(x+1)(x^2-x+1)}dx\\
&   =\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{a+1}+x^a}{x^3+1}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{\frac{a+1}{3}}+t^{\frac{a}{3}}}{1+t}\cdot \frac{1}{3t^{\frac{2}{3}}}dt\\
&   =\frac{1}{3}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{\frac{a-1}{3}}+t^{\frac{a-2}{3}}}{1+t}dt=\frac{π}{3}\left\{\frac{1}{\sin \left(\frac{a+2}{3}\right)}+\frac{1}{\sin \left(\frac{a+1}{3}\right)}\right\}\\
\end{alignat}\(\displaystyle J(p)=\frac{1}{\sin pπ}\) と置くと$$I(a)=\frac{π}{3}\left\{J\left(\frac{a+2}{3}\right)+J\left(\frac{a+1}{3}\right)\right\}$$\(I(a)\) を \(a\) で \(2\) 回微分します。$$I’’(a)=\frac{π}{27}\left\{J’’\left(\frac{a+2}{3}\right)+J’’\left(\frac{a+1}{3}\right)\right\}$$\(a=0\) とすると$$I’’(0)=\frac{π}{27}\left\{J’’\left(\frac{2}{3}\right)+J’’\left(\frac{1}{3}\right)\right\}$$となるので \(J’’(p)\) を計算します。
\begin{alignat}{2}
&J’(p)=-\frac{π\cos pπ}{\sin^2 pπ}\\
&\\
&J’’(p)=-π \cdot \frac{-π\sin pπ \cdot \sin^2 pπ- \cos pπ \cdot 2π\sin pπ \cos pπ}{\sin^4 pπ}\\
&     =π^2 \cdot \frac{\sin^2 pπ+2 \cos^2 pπ}{\sin^3 pπ}\\
\end{alignat}よって$$J’’\left(\frac{1}{3}\right)=J’’\left(\frac{2}{3}\right)=π^2 \cdot \frac{\sin^2 \frac{π}{3}+2 \cos^2 \frac{π}{3}}{\sin^3 \frac{π}{3}}=π^2 \left(\frac{3}{4}+\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{8}{3\sqrt{3}}=\frac{10}{3\sqrt{3}}π^2$$となるので$$I’’(0)=\frac{π}{27}\left\{J’’\left(\frac{2}{3}\right)+J’’\left(\frac{1}{3}\right)\right\}=\frac{π}{27} \cdot \frac{20}{3\sqrt{3}}π^2 \cdot 2=\frac{10}{81\sqrt{3}}π^3$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(\log x)^2}{x^2-x+1}dx=\frac{20}{81\sqrt{3}}π^3$$







\((4)\) 次の定積分を \(I(a)\) と置きます。$$I(a)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^a}{x^2+x+1}dx$$\(I(a)\) を \(a\) で \(2\) 回微分します。$$I’’(a)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(\log x)^2 x^a}{x^2+x+1}dx$$\(a=0\) とすると$$I’’(0)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(\log x)^2}{x^2+x+1}dx$$となるので \(I’’(0)\) を求めます。

分子と分母に \(x-1\) を掛けて \(x^3=t\) と置きます。\((3x^2dx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
&I(a)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^a}{x^2+x+1}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(x-1)x^a}{(x-1)(x^2+x+1)}dx\\
&   =\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{a+1}-x^a}{x^3-1}dx=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{\frac{a+1}{3}}-t^{\frac{a}{3}}}{t-1}\cdot \frac{1}{3t^{\frac{2}{3}}}dt\\
&   =\frac{1}{3}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{\frac{a-1}{3}}+t^{\frac{a-2}{3}}}{t-1}dt=\frac{1}{3}\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{t^{\frac{a-2}{3}}+t^{\frac{a-1}{3}}}{1-t}dt=\frac{π}{3}\left\{\cot \left(\frac{a+1}{3}\right)π-\cot \left(\frac{a+2}{3}\right)π\right\}\\
\end{alignat}\(\displaystyle J(p)=\cot pπ\) と置くと$$I(a)=\frac{π}{3}\left\{J\left(\frac{a+1}{3}\right)-J\left(\frac{a+2}{3}\right)\right\}$$\(I(a)\) を \(a\) で \(2\) 回微分します。$$I’’(a)=\frac{π}{27}\left\{J’’\left(\frac{a+1}{3}\right)-J’’\left(\frac{a+2}{3}\right)\right\}$$\(a=0\) とすると$$I’’(0)=\frac{π}{27}\left\{J’’\left(\frac{1}{3}\right)-J’’\left(\frac{2}{3}\right)\right\}$$となるので \(J’’(p)\) を計算します。
\begin{alignat}{2}
&J’(p)=-π\cdot \frac{1}{\sin^2 pπ}\\
&\\
&J’’(p)=-π\cdot (-2) \cdot \frac{π\cos pπ}{\sin^3 pπ}=\frac{2π^2 \cos pπ}{\sin^3 pπ}\\
\end{alignat}よって
\begin{alignat}{2}
&J’’\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{2π^2 \cos \frac{π}{3}}{\sin^3 \frac{π}{3}}=2π^2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3\sqrt{3}}=\frac{8}{3\sqrt{3}}π^2\\
&J’’\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{2π^2 \cos \frac{2π}{3}}{\sin^3 \frac{2π}{3}}=2π^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{8}{3\sqrt{3}}=-\frac{8}{3\sqrt{3}}π^2\\
\end{alignat}
となるので$$I’’(0)=\frac{π}{27}\left\{J’’\left(\frac{1}{3}\right)-J’’\left(\frac{2}{3}\right)\right\}=\frac{π}{27} \cdot \frac{8}{3\sqrt{3}}π^2 \cdot 2=\frac{16}{81\sqrt{3}}π^3$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(\log x)^2}{x^2+x+1}dx=\frac{16}{81\sqrt{3}}π^3$$







\((1)\) \((3)\) において、積分区間を \(1\) を境に切り離します。$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{( \log x)^2}{x^2-x+1}dx=\displaystyle\int_0^1 \frac{( \log x)^2}{x^2-x+1}dx+\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{( \log x)^2}{x^2-x+1}dx$$右の積分について \(\displaystyle x=\frac{1}{t}\) と置きます。\(\displaystyle \left( dx=\frac{1}{t^2}dt\right)\)$$\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{( \log x)^2}{x^2-x+1}dx=\displaystyle\int_1^0 \frac{(- \log t)^2}{t^{-2}-t^{-1}+1}\left(-\frac{1}{t^2}\right)dt=\displaystyle\int_0^1 \frac{( \log t)^2}{1-t+t^2}dt$$となるので、元の積分は$$=\displaystyle\int_0^1 \frac{( \log x)^2}{x^2-x+1}dx+\displaystyle\int_0^1 \frac{( \log t)^2}{t^2-t+1}dt=2\displaystyle\int_0^1 \frac{( \log x)^2}{x^2-x+1}dx$$すなわち \((3)\) の結果より$$2\displaystyle\int_0^1 \frac{( \log x)^2}{x^2-x+1}dx=\frac{20}{81\sqrt{3}}π^3$$以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^2}{x^2-x+1}dx=\frac{10}{81\sqrt{3}}π^3$$







\((2)\) \((4)\) において、積分区間を \(1\) を境に切り離します。$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{( \log x)^2}{x^2+x+1}dx=\displaystyle\int_0^1 \frac{( \log x)^2}{x^2+x+1}dx+\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{( \log x)^2}{x^2+x+1}dx$$右の積分について \(\displaystyle x=\frac{1}{t}\) と置きます。\(\displaystyle \left( dx=\frac{1}{t^2}dt\right)\)$$\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{( \log x)^2}{x^2+x+1}dx=\displaystyle\int_1^0 \frac{(- \log t)^2}{t^{-2}+t^{-1}+1}\left(-\frac{1}{t^2}\right)dt=\displaystyle\int_0^1 \frac{( \log t)^2}{1+t+t^2}dt$$となるので、元の積分は$$=\displaystyle\int_0^1 \frac{( \log x)^2}{x^2+x+1}dx+\displaystyle\int_0^1 \frac{( \log t)^2}{t^2+t+1}dt=2\displaystyle\int_0^1 \frac{( \log x)^2}{x^2+x+1}dx$$すなわち \((3)\) の結果より$$2\displaystyle\int_0^1 \frac{( \log x)^2}{x^2+x+1}dx=\frac{16}{81\sqrt{3}}π^3$$以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^2}{x^2+x+1}dx=\frac{10}{8\sqrt{3}}π^3$$

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