(logx)^{2n}/(1-x^2)[0,1]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(\log x)^{2n+1}}{1+ax+x^2}dx=0\\
&(2) \displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^{2n}}{1-x^2}dx=\frac{2^{2n+1}-1}{2^{2n+1}}(2n)!ζ(2n+1)\\
&(3) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(\log x)^{2n}}{1-x^2}dx=0\\
\end{alignat}ただし、全て \(n \in \mathrm{N}\)










<証明>

\((1)\) 積分区間を \(1\) を境に切り離します。$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(\log x)^{2n+1}}{1+ax+x^2}dx=\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^{2n+1}}{1+ax+x^2}dx+\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{(\log x)^{2n+1}}{1+ax+x^2}dx$$右側の積分について \(\displaystyle x=\frac{1}{t}\) と置きます。\(\displaystyle \left(dx=-\frac{1}{t^2}dt\right)\)$$\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{(\log x)^{2n+1}}{1+ax+x^2}dx=\displaystyle\int_1^0 \frac{(- \log t)^{2n+1}}{1+at^{-1}+t^{-2}}\left(-\frac{1}{t^2}\right)dt=-\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log t)^{2n+1}}{1+at+t^2}dt$$よって、元の積分計算は$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(\log x)^{2n+1}}{1+ax+x^2}dx=\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^{2n+1}}{1+ax+x^2}dx-\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log t)^{2n+1}}{1+at+t^2}dx=0$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(\log x)^{2n+1}}{1+ax+x^2}dx=0$$








\begin{alignat}{2}
&(2) \displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^{2n}}{1-x^2}dx=\displaystyle\int_0^1 (\log x)^{2n}\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} x^{2m}dx=\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} x^{2m}(\log x)^{2n}dx\\
&                 =\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(2n)!(-1)^{2n}}{(2m+1)^{2n+1}}=(2n)!\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} \frac{1}{(2m+1)^{2n+1}}\\
&                 =(2n)!\left(1-\frac{1}{2^{2n+1}}\right)ζ(2n+1)=\frac{2^{2n+1}-1}{2^{2n+1}}(2n)!ζ(2n+1)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^{2n}}{1-x^2}dx=\frac{2^{2n+1}-1}{2^{2n+1}}(2n)!ζ(2n+1)$$







\((3)\) 積分区間を \(1\) を境に切り離します。$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(\log x)^{2n}}{1-x^2}dx=\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^{2n}}{1-x^2}dx+\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{(\log x)^{2n}}{1-x^2}dx$$右側の積分について \(\displaystyle x=\frac{1}{t}\) と置きます。\(\displaystyle \left(dx=-\frac{1}{t^2}dt\right)\)$$\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{(\log x)^{2n}}{1-x^2}dx=\displaystyle\int_1^0 \frac{( \log t)^{2n}}{1-t^{-2}}\left(-\frac{1}{t^2}\right)dt=-\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log t)^{2n}}{1-t^2}dt$$よって、元の積分計算は$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(\log x)^{2n}}{1-x^2}dx=\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^{2n}}{1-x^2}dx-\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log t)^{2n}}{1-t^2}dx=0$$以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(\log x)^{2n}}{1-x^2}dx=0$$

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