(logx)^{2n}/(1+x)[0,1]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^{2n}}{1+x}dx=\frac{2^{2n}-1}{2^{2n}}(2n)!ζ(2n+1)\\
&(2) \displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^{2n-1}}{1+x}dx=\frac{1-2^{2n-1}}{2n}\cdot π^{2n}|B_{2n}|\\
&(3) \displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^{2n-1}}{1-x}dx=-\frac{2^{2n-2}π^{2n}}{n}|B_{2n}|\\
\end{alignat}ただし、全て \(n \in \mathrm{N}\)








<証明>

全て、被積分関数の一部を級数で表し、積分します。
イータ関数はゼータ関数へ。また \(ζ(2n)\) はベルヌーイ数を用いた式で表します。

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^{2n}}{1+x}dx=\displaystyle\int_0^1 (\log x)^{2n}\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} (-1)^mx^m dx\\
&=\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} (-1)^m \displaystyle\int_0^1 x^m (\log x)^{2n}dx=\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} (-1)^m \cdot \frac{(-1)^{2n} \cdot (2n)!}{(m+1)^{2n+1}}\\
&=(2n)! \displaystyle\sum_{m=0}^{\infty }\frac{(-1)^m}{(m+1)^{2n+1}}=(2n)!η(2n+1)\\
&=(2n)!\left(1-\frac{1}{2^{2n}}\right)ζ(2n+1)=\frac{2^{2n}-1}{2^{2n}}(2n)!ζ(2n+1)
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^{2n}}{1+x}dx=\frac{2^{2n}-1}{2^{2n}}(2n)!ζ(2n+1)$$







\begin{alignat}{2}
&(2) \displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^{2n-1}}{1+x}dx=\displaystyle\int_0^1 (\log x)^{2n-1}\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} (-1)^mx^m dx\\
&=\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} (-1)^m \displaystyle\int_0^1 x^m (\log x)^{2n-1}dx=\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} (-1)^m \cdot \frac{(-1)^{2n-1} \cdot (2n-1)!}{(m+1)^{2n}}\\
&=-(2n-1)! \displaystyle\sum_{m=0}^{\infty }\frac{(-1)^m}{(m+1)^{2n}}=-(2n-1)!η(2n)\\
&=-(2n-1)!\left(1-\frac{1}{2^{2n-1}}\right)ζ(2n)=-(2n-1)! \frac{2^{2n-1}-1}{2^{2n-1}} \cdot \frac{(2π)^{2n}|B_{2n}|}{2(2n)!}=\frac{1-2^{2n-1}}{2n}\cdot π^{2n}|B_{2n}|
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^{2n-1}}{1+x}dx=\frac{1-2^{2n-1}}{2n}\cdot π^{2n}|B_{2n}|$$







\begin{alignat}{2}
&(3) \displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^{2n-1}}{1-x}dx=\displaystyle\int_0^1 (\log x)^{2n-1}\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} x^m dx\\
&=\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} \displaystyle\int_0^1 x^m (\log x)^{2n-1}dx=\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^{2n-1} \cdot (2n-1)!}{(m+1)^{2n}}\\
&=-(2n-1)! \displaystyle\sum_{m=0}^{\infty }\frac{1}{(m+1)^{2n}}=-(2n-1)!ζ(2n)\\
&=-(2n-1)! \cdot \frac{(2π)^{2n}|B_{2n}|}{2(2n)!}=-\frac{2^{2n-2}π^{2n}}{n}|B_{2n}|
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^{2n-1}}{1-x}dx=-\frac{2^{2n-2}π^{2n}}{n}|B_{2n}|$$

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