(logx)^{2n}/(1+x^2)[0,1]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^{2n}}{1+x^2}dx=\frac{1}{2}\left(\frac{π}{2}\right)^{2n+1}|E_{2n}|\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(\log x)^{2n}}{1+x^2}dx=\left(\frac{π}{2}\right)^{2n+1}|E_{2n}|\\
&(3) \displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^n}{1+x^2}dx=(-1)^n n!\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m}{(2m+1)^{n+1}}\\
\end{alignat}ただし、全て \(n \in \mathrm{N}\)









<証明>

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^{2n}}{1+x^2}dx\\
&=\displaystyle\int_0^1 (\log x)^{2n} \displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} (-1)^m x^{2m}dx=\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} (-1)^m \displaystyle\int_0^1 x^{2m}(\log x)^{2n}dx\\
&=\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} (-1)^m \cdot \frac{(-1)^{2n}(2n)!}{(2m+1)^{2n+1}}=(2n)! \displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m}{(2m+1)^{2n+1}}\\
&=(2n)! \cdot \frac{π^{2n+1}}{2^{2n+2}(2n)!}|E_{2n}|=\frac{1}{2}\left(\frac{π}{2}\right)^{2n+1}|E_{2n}|
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^{2n}}{1+x^2}dx=\frac{1}{2}\left(\frac{π}{2}\right)^{2n+1}|E_{2n}|$$







\((2)\) 積分区間を \(1\) を境に切り離します。$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(\log x)^{2n}}{1+x^2}dx=\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^{2n}}{1+x^2}dx+\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{(\log x)^{2n}}{1+x^2}dx$$右の積分について \(\displaystyle x=\frac{1}{t}\) と置きます。\(\displaystyle \left( dx=-\frac{1}{t^2}dt\right)\)$$\displaystyle\int_1^{\infty} \frac{(\log x)^{2n}}{1+x^2}dx=\displaystyle\int_1^0 \frac{(-\log t)^{2n}}{1+\frac{1}{t^2}}\left(-\frac{1}{t^2}\right)dt=\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log t)^{2n}}{1+t^2}dt$$元の積分計算に戻ります。\((1)\) の結果を代入します。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(\log x)^{2n}}{1+x^2}dx=\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^{2n}}{1+x^2}dx+\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log t)^{2n}}{1+t^2}dt\\
&              =2\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^{2n}}{1+x^2}dx=2 \cdot \frac{π^{2n+1}}{2^{2n+2}}|E_{2n}|=\left(\frac{π}{2}\right)^{2n+1}|E_{2n}|\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(\log x)^{2n}}{1+x^2}dx=\left(\frac{π}{2}\right)^{2n+1}|E_{2n}|$$







\begin{alignat}{2}
&(3) \displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^n}{1+x^2}dx\\
&=\displaystyle\int_0^1 (\log x)^n \displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} (-1)^m x^{2m}dx=\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} (-1)^m \displaystyle\int_0^1 x^{2m}(\log x)^ndx\\
&=\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} (-1)^m \cdot \frac{(-1)^n n!}{(2m+1)^{n+1}}=(-1)^n n! \displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m}{(2m+1)^{n+1}}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^n}{1+x^2}dx=(-1)^n n!\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m}{(2m+1)^{n+1}}$$

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