(logx)^4/(1+2xcost+x^2)[0,1]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^2}{1+2x \cos t +x^2}dx=\frac{t(π^2-t^2)}{6 \sin t}\\
&(2)  \displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^4}{1+2x \cos t +x^2}dx=\frac{t(π^2-t^2)(7π^2-3t^2)}{30 \sin t}\\
&(3)  \displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^{2m}}{1+2x \cos t +x^2}dx=\frac{(2m)!}{\sin t}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}\sin nt}{n^{2m+1}}\\
\end{alignat}ただし、全て \(|t| \lt π,\,m \in \mathrm{N}\)








<証明>

次の等式を用います。[詳細はこちらです。(A)(B)(C)]
\begin{alignat}{2}
&(A)  \frac{p \sin x}{1+2p \cos x+p^2}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}p^n \sin nx  (|p| \lt 1)\\
&(B)  \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}\sin kx}{k^3}=\frac{π^2x}{12}-\frac{x^3}{12}  (|x| \lt π)\\
&(C)  \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}\sin kx}{k^5}=\frac{7π^4x}{720}-\frac{π^2x^3}{72}+\frac{x^5}{240}  (|x| \lt π)\\
\end{alignat}

また予め、次の定積分を計算しておきます。部分積分を繰り返します。\((n,m \in \mathrm{N})\)
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^1 x^n (\log x)^mdx&=[x^{n-1} \cdot m(\log x)^{m-1}]_0^1 -\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{m(\log x)^{m-1}}{x}dx\\
&=-\frac{m}{n+1}\displaystyle\int_0^1 x^n (\log x)^{m-1}dx\\
&=(-1)^2 \cdot \frac{m(m-1)}{(n+1)^2}\displaystyle\int_0^1 x^n (\log x)^{m-2}dx\\
&=(-1)^3 \cdot \frac{m(m-1)(m-2)}{(n+1)^3}\displaystyle\int_0^1 x^n (\log x)^{m-3}dx\\
&\\
&            \cdots\\
&\\
&=(-1)^m \cdot \frac{m!}{(n+1)^m}\displaystyle\int_0^1 x^ndx\\
&=(-1)^m \cdot \frac{m!}{(n+1)^m}\cdot \frac{1}{n+1}=\frac{(-1)^m \cdot m!}{(n+1)^{m+1}}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 x^n (\log x)^mdx=\frac{(-1)^m \cdot m!}{(n+1)^{m+1}}$$




求める定積分の被積分関数に合わせて \((A)\) の式の文字を置き換えます。$$\frac{x\sin t }{1+2x \cos t+x^2}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n x^n \sin nt$$両辺を \(x \sin t\) で割ります。$$\frac{1}{1+2x \cos t+x^2}=\frac{1}{\sin t}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n x^{n-1} \sin nt  \cdots (D)$$


\((1)\)  \((D)\) の式の両辺に \((\log x)^2\) を掛けて \([0,1]\) で積分します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^2}{1+2x \cos t +x^2}dx&=\frac{1}{\sin t}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \sin nt \displaystyle\int_0^1 x^{n-1}(\log x)^2dx\\
&=\frac{2}{\sin t} \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} \sin nt}{n^3}\\
&=\frac{2}{\sin t} \cdot \frac{π^2t-t^3}{12}=\frac{t(π^2-t^2)}{6 \sin t}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^2}{1+2x \cos t +x^2}dx=\frac{t(π^2-t^2)}{6 \sin t}$$







\((2)\)  \((D)\) の式の両辺に \((\log x)^4\) を掛けて \([0,1]\) で積分します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^4}{1+2x \cos t +x^2}dx&=\frac{1}{\sin t}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \sin nt \displaystyle\int_0^1 x^{n-1}(\log x)^4dx\\
&=\frac{24}{\sin t} \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} \sin nt}{n^5}=\frac{2}{\sin t} \cdot \frac{7π^4t-10π^2t^3+3t^5}{720}\\
&=\frac{t(7π^4-10π^2t^2+3t^4)}{30 \sin t}=\frac{t(π^2-t^2)(7π^2-3t^2)}{30 \sin t}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^4}{1+2x \cos t +x^2}dx=\frac{t(π^2-t^2)(7π^2-3t^2)}{30 \sin t}$$







\((3)\)  \((D)\) の式の両辺に \((\log x)^{2m}\) を掛けて \([0,1]\) で積分します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^{2m}}{1+2x \cos t +x^2}dx&=\frac{1}{\sin t}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \sin nt \displaystyle\int_0^1 x^{n-1}(\log x)^{2m}dx\\
&=\frac{1}{\sin t} \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \sin nt \cdot \frac{(-1)^{2m} \cdot (2m)!}{n^{2m+1}}=\frac{(2m)!}{\sin t}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}\sin nt}{n^{2m+1}}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^{2m}}{1+2x \cos t +x^2}dx=\frac{(2m)!}{\sin t}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}\sin nt}{n^{2m+1}}$$






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