(logx)^4/(1+x^2)[0,1]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^4}{1+x^2}dx=\frac{5}{64}π^5\\
&(2) \displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^5}{1+x}dx=-\frac{31}{252}π^6\\
&(3) \displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^5}{1-x}dx=-\frac{8}{63}π^6\\
\end{alignat}







<証明>

予め、次の定積分を計算しておきます。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^1 x^n (\log x)^mdx  (m,n \in \mathrm{N})\\
&=\left[\frac{x^{n+1}(\log x)^m}{n+1}\right]_0^1 -\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{m(\log x)^{m-1}}{x}dx\\
&=-\frac{m}{n+1}\displaystyle\int_0^1 x^n (\log x)^{m-1}dx\\
\end{alignat}部分積分を繰り返します。
\begin{alignat}{2}
&=\left(-\frac{m}{n+1}\right)\left(-\frac{m-1}{n+1}\right)\displaystyle\int_0^1 x^n (\log x)^{m-2}dx\\
&=\left(-\frac{m}{n+1}\right)\left(-\frac{m-1}{n+1}\right)\left(-\frac{m-2}{n+1}\right)\displaystyle\int_0^1 x^n (\log x)^{m-3}dx\\
&\\
&           \cdots\\
&\\
&=(-1)^m \cdot \frac{m!}{(n+1)^m}\displaystyle\int_0^1 x^n dx\\
&=\frac{(-1)^mm!}{(n+1)^m}\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^1=\frac{(-1)^mm!}{(n+1)^{m+1}}
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 x^n (\log x)^mdx=\frac{(-1)^mm!}{(n+1)^{m+1}}  (m,n \in \mathrm{N})$$



\((1)\) 次の級数の結果を用います。(詳細はこちらです。)$$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^5}=\frac{5π^5}{1536}$$
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^4}{1+x^2}dx=\displaystyle\int_0^1 (\log x)^4 \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}dx=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \displaystyle\int_0^1 x^{2n} (\log x)^4dx\\
&             =\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\cdot \frac{(-1)^4 \cdot 4!}{(2n+1)^5}=24 \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^5}\\
&             =24 \cdot \frac{5π^5}{1536}=\frac{5}{64}π^5\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^4}{1+x^2}dx=\frac{5}{64}π^5$$







\begin{alignat}{2}
&(2) \displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^5}{1+x}dx=\displaystyle\int_0^1 (\log x)^5 \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^ndx=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \displaystyle\int_0^1 x^n (\log x)^5dx\\
&                =\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\cdot \frac{(-1)^5 \cdot 5!}{(n+1)^6}=-120 \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(n+1)^6}=-120 η(6)\\
&                =-120\left(1-\frac{1}{2^5}\right)ζ(6)=-120 \cdot \frac{31}{32} \cdot \frac{π^6}{945}=-\frac{31}{252}π^6\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^5}{1+x}dx=-\frac{31}{252}π^6$$







\begin{alignat}{2}
&(3) \displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^5}{1-x}dx=\displaystyle\int_0^1 (\log x)^5 \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} x^ndx=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \displaystyle\int_0^1 x^n (\log x)^5dx\\
&                =\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^5 \cdot 5!}{(n+1)^6}=-120\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^6}\\
&                =-120 ζ(6)=-120\cdot \frac{π^6}{945}=-\frac{8}{63}π^6
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^5}{1-x}dx=-\frac{8}{63}π^6$$

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です