(logx)x^{μ-1}/(1+x)[0,∞]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^2}{\sqrt{1-x^2}}dx=\frac{π^3}{24}+\frac{π}{2}( \log 2)^2\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(\log x)^2x^{μ-1}}{1+x}dx=\frac{π^3(2- \sin^2 μπ)}{\sin^3 μπ}  (0 \lt μ \lt 1)\\
&(3)  \displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^2(1-x)}{1-x^6}dx=\frac{13}{18}ζ(3)+\frac{4\sqrt{3}}{243}π^3\\
\end{alignat}









<証明>

次の定積分の結果、及びディガンマ関数(\(2\) 回微分)の値を用います。[詳細はこちらです。(A)(B)(C)]
\begin{alignat}{2}
&(A)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\left\{ \log (\sin x)\right\}^2dx=\frac{π^3}{24}+\frac{π}{2}( \log 2)^2\\
&(B)  ψ’’\left(\frac{1}{3}\right)=-26ζ(3)-\frac{4\sqrt{3}}{9}π^3\\
&(C)  ψ’’\left(\frac{1}{6}\right)=-182ζ(3)-4\sqrt{3}π^3\\
\end{alignat}




\((1)\) \(x=\sin t\) と置きます。\((dx=\cos tdt)\)

\((A)\) の式を用います。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^2}{\sqrt{1-x^2}}dx&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{(\log \sin t)^2}{\sqrt{1-\sin^2 t}} \cdot \cos tdt\\
&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\left\{ \log (\sin t)\right\}^2dt=\frac{π^3}{24}+\frac{π}{2}( \log 2)^2\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^2}{\sqrt{1-x^2}}dx=\frac{π^3}{24}+\frac{π}{2}( \log 2)^2$$







\((2)\) 次の定積分を \(I(μ)\) と置きます。$$I(μ)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{1+x}dx$$\(I(μ)\) を \(μ\) で \(2\) 回微分します。$$I’’(μ)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(\log x)^2x^{μ-1}}{1+x}dx$$となるので \(I’’(μ)\) を求めます。

\(I(μ)\) について$$I(μ)=\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{x^{μ-1}}{1+x}dx=B(μ,1-μ)=\frac{π}{\sin μπ}$$\(I(μ)\) を \(μ\) で \(2\) 回微分します。
\begin{alignat}{2}
I’(μ)&=π\cdot (-1) (\sin μπ)^{-2} \cdot π \cos μπ=-π^2 \cdot \frac{\cos μπ }{\sin^2 μπ}\\
I’’(μ)&=-π^2 \cdot \frac{-π \sin μπ \cdot \sin^2 μπ-\cos μπ \cdot 2 \sin μπ \cdot π \cos μπ}{\sin^4 μπ}\\
&=-π^2 \cdot \frac{-π\sin^2 μπ-2π\cos^2 μπ}{\sin^3 μπ}=π^3 \cdot \frac{\sin^2 μπ+2 \cos^2 μπ}{\sin^3 μπ}\\
&=π^3 \cdot \frac{2(\sin^2 μπ+\cos^2 μπ)-\sin^2 μπ}{\sin^3 μπ}=\frac{π^3(2- \sin^2 μπ)}{\sin^3 μπ}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\infty} \frac{(\log x)^2x^{μ-1}}{1+x}dx=\frac{π^3(2- \sin^2 μπ)}{\sin^3 μπ}  (0 \lt μ \lt 1)$$








\((3)\) 次の定積分を \(I(μ)\) と置きます。$$I(μ)=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^μ(1-x)}{1-x^6}dx$$\(I(μ)\) を \(μ\) で \(2\) 回微分します。$$I(μ)=\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^2x^μ(1-x)}{1-x^6}dx$$\(μ=0\) とすると$$I’’(0)=\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^2(1-x)}{1-x^6}dx$$となるので \(I’’(0)\) を求めます。


\(x^6=t\) と置きます。\((6x^5dx=dt)\)
\begin{alignat}{2}
I(μ)&=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^μ-x^{μ+1}}{1-x^6}dx=\displaystyle\int_0^1 \frac{t^{\frac{μ}{6}}-t^{\frac{μ+1}{6}}}{1-t} \cdot \frac{1}{6t^{\frac{5}{6}}}dt\\
&=\frac{1}{6} \displaystyle\int_0^1 \frac{t^{\frac{μ-5}{6}}-t^{\frac{μ-4}{6}}}{1-t}dt=\frac{1}{6}\left\{ψ\left(\frac{μ+2}{6}\right)-ψ\left(\frac{μ+1}{6}\right)\right\}\\
\end{alignat}\(I(μ)\) を \(μ\) で \(2\) 回微分します。$$I’’(μ)=\frac{1}{216}\left\{ψ’’\left(\frac{μ+2}{6}\right)-ψ’’\left(\frac{μ+1}{6}\right)\right\}$$\(μ=0\) とします。$$I’’(0)=\frac{1}{216}\left\{ψ’’\left(\frac{1}{3}\right)-ψ’’\left(\frac{1}{6}\right)\right\}$$\((B)(C)\) の式を代入します。
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{216}\left\{-26ζ(3)-\frac{4\sqrt{3}}{9}π^3+182ζ(3)+4\sqrt{3}π^3\right\}\\
&=\frac{1}{216}\left\{156ζ(3)+\frac{32\sqrt{3}}{9}π^3\right\}=\frac{13}{18}ζ(3)+\frac{4\sqrt{3}}{486}π^3\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{(\log x)^2(1-x)}{1-x^6}dx=\frac{13}{18}ζ(3)+\frac{4\sqrt{3}}{243}π^3$$

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