メビウス変換

$$f(x)=\frac{( \cos α)x- \sin α}{( \sin α)x+ \cos α}$$ $$g(x)=\frac{( \cos β)x-\sin β}{( \sin β)x+ \cos β}$$ とすると
$$f(g(x))=g(f(x))=\frac{\{ \cos (α+β)\}x- \sin (α+β)}{\{ \sin (α+β)\}x+ \cos (α+β) }$$ が成立します。









<証明>

\begin{alignat}{2}
(1)   f(g(x))&=\frac{( \cos α)\frac{( \cos β)x- \sin β}{( \sin β)x+ \cos β}- \sin α}{( \sin α)\frac{( \cos β)x- \sin β}{( \sin β)x+ \cos β}+ \cos α}\\
&=\frac{( \cos α \cos β)x- \cos α \sin β- \sin α\{( \sin β)x+ \cos β\}}{ ( \sin α \cos β)x-\sin α \sin β+ \cos α\{( \sin β)x+ \cos β\}}\\
&=\frac{( \cos α \cos β)x- \cos α \sin β-( \sin α \sin β)x- \sin α \cos β}{( \sin α \cos β)x- \sin α \sin β+( \cos α \sin β)x+ \cos α \cos β}\\
&=\frac{( \cos α \cos β- \sin α \sin β)x-( \sin α \cos β+ \cos α \sin β)}{ ( \sin α \cos β+ \cos α \sin β)x+ \cos α \cos β- \sin α \sin β}\\
&=\frac{\{ \cos (α+β)\}x- \sin (α+β)}{\{ \sin (α+β)\}x+ \cos (α+β)}\\
\end{alignat}






\begin{alignat}{2}
(2)  g(f(x))&=\frac{( \cos β)\frac{( \cos α)x- \sin α}{( \sin α)x+ \cos α}- \sin β}{( \sin β)\frac{( \cos α)x- \sin α}{( \sin α)x+ \cos α}+ \cos β}\\
&=\frac{( \cos α \cos β)x- \sin α \cos β- \sin β\{( \sin α)x+ \cos α\}}{( \cos α \sin β)x- \sin α \sin β+ \cos β\{( \sin α)x+ \cos α\}}\\
&=\frac{( \cos α \cos β)x- \sin α \cos β-( \sin α \sin β)x- \cos α \sin β}{( \cos α \sin β)x- \sin α \sin β+( \sin α \cos β)x+ \cos α \cos β}\\
&=\frac{( \cos α \cos β- \sin α \sin β)x-( \sin α \cos β+ \cos α \sin β)}{( \sin α \cos β+ \cos α \sin β)x+ \cos α \cos β- \sin α \sin β}\\
&=\frac{\{ \cos (α+β)\}x- \sin (α+β)}{\{ \sin (α+β)\}x+ \cos (α+β)}\\
\end{alignat}以上より$$f(g(x))=g(f(x))=\frac{\{ \cos (α+β)\}x- \sin (α+β)}{\{ \sin (α+β)\}x+ \cos (α+β) }$$
ここで \(f(x)=f(x,α)=f_{α}\) と書き直すと \(g(x)=f(x,β)=f_{β}\) であり$$f(g(x))=g(f(x))=f(x,α+β)=f_{α+β}$$と書けるので、次式が成り立ちます。$$f_{α} \circ f_{β}=f_{α+β}$$

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