メネラウスの定理とチェバの定理

下記の \(2\) つの三角形において、次の式が成り立ちます。$$\frac{AB}{BC} \times \frac{CD}{DE} \times \frac{EF}{FA}=1$$

\((1)\) メネラウスの定理

\((2)\) チェバの定理









<証明>

\((1)\) 下の図のように、点 \(C\) を通り線分 \(BF\) に平行な線分 \(CG\) を引きます。

この補助線によって出来る \(2\) 組の相似な三角形において
線分の比を見ていきます。

\(\triangle ACG \sim \triangle ABF\) より$$AB:BC=FA:FG,  \frac{AB}{BC}=\frac{FA}{FG} \cdots(A)$$
\(\triangle EDF \sim \triangle ECG\) より$$CD:DE=FG:EF,  \frac{CD}{DE}=\frac{FG}{EF} \cdots(B)$$
ここで \((A)(B)\) の右辺同士を掛けて、

さらに \(\displaystyle \frac{EF}{FA}\) を掛けることで値を \(1\) にします。$$\frac{FA}{FG} \times \frac{FG}{EF} \times \frac{EF}{FA}=1$$\((A)(B)\) より、式を取り替えることで$$\frac{AB}{BC} \times \frac{CD}{DE} \times \frac{EF}{FA}=1$$









\((2)\) 線分比と面積比の関係式を用います

\((A)\) \(AB:BC=\triangle AEI:\triangle IEC\) より$$\frac{AB}{BC}=\frac{\triangle AEI}{\triangle IEC}$$

\((B)\) \(CD:DE=\triangle AIC:\triangle AEI\) より$$\frac{CD}{DE}=\frac{\triangle AIC}{\triangle AEI}$$

\((C)\) \(EF:FA=\triangle IEC:\triangle AIC\) より$$\frac{EF}{FA}=\frac{\triangle IEC}{\triangle AIC}$$

これらの右辺を全て掛け合わせると$$\frac{\triangle AEI}{\triangle IEC} \times \frac{\triangle AIC}{\triangle AEI} \times \frac{\triangle IEC}{\triangle AIC}=1$$
面積の分数から、線分の分数に取り替えることで$$\frac{AB}{BC} \times \frac{CD}{DE} \times \frac{EF}{FA}=1$$

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