Σ[n=1,∞]n/(2n+1)!などの級数

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}=e\\
&(2)  \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!}=\frac{1}{e}\\
&(3)  \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(2n+1)!}=\frac{1}{2e}\\
&(4)  \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n+1)!}=1\\
&(5)  \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n)!}=\frac{1}{2}\left(e+\frac{1}{e}\right)\\
&(6)  \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)!}=\frac{1}{2}\left(e-\frac{1}{e}\right)\\
&(7)  \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}=\cos 1\\
&(8)  \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}=\sin 1\\
\end{alignat}








<証明>

次の級数を用います。(詳細はこちらです)
\begin{alignat}{2}
&(A)  e^x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} ( -\infty \lt x \lt \infty) \\
&(B)  \sinh x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} ( -\infty \lt x \lt \infty)\\
&(C)  \cosh x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} ( -\infty \lt x \lt \infty)\\
&(D)  \sin x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!} ( -\infty \lt x \lt \infty)\\
&(E)  \cos x=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!} ( -\infty \lt x \lt \infty)\\
\end{alignat}




\((1)\) \((A)\) の式で \(x=1\) とします。$$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+ \frac{1}{4!}+ \cdots =e$$
\((2)\) \((A)\) の式で \(x=-1\) とします。$$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!}=1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+ \frac{1}{4!}- \cdots =\frac{1}{e}$$



\((3)\) \((B)\) の式で \(x=1\) とすると$$\sinh 1=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)!},  \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)!}=\sinh 1-1$$\((C)\) の式で \(x=1\) とすると$$\cosh 1=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n)!},  \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)!}=\cosh 1-1$$であるので、これらを用いて式を進めます。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(2n+1)!}&=\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n+1-1}{(2n+1)!}=\frac{1}{2}\left\{\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)!}-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)!}\right\}\\
&=\frac{1}{2}\{\cosh 1-1 -( \sinh 1-1)\}\\
&=\frac{1}{2}(\cosh 1-\sinh 1)=\frac{1}{2}\left(\frac{e+e^{-1}}{2}-\frac{e-e^{-1}}{2}\right)=\frac{1}{2e}\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(2n+1)!}=\frac{1}{2e}$$






\begin{alignat}{2}
(4)  \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{(n+1)!}&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1-1}{(n+1)!}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)!}\\
&=-1+e-(-2+e)=1\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n+1)!}=1$$




\((5)\) \((C)\) の式で \(x=1\) とします。$$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n)!}=\cosh 1=\frac{1}{2}\left(e+\frac{1}{e}\right)$$\((6)\) \((B)\) の式で \(x=1\) とします。$$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)!}=\sinh 1=\frac{1}{2}\left(e-\frac{1}{e}\right)$$\((7)\) \((E)\) の式で \(x=1\) とします。$$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}=\cos 1$$\((8)\) \((D)\) の式で \(x=1\) とします。$$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}=\sin 1$$

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