二項分布

ある試行を合計 \(n\) 回行ったとき、
確率が \(p\) である事象が \(k\) 回だけ起こる確率を考えます。
このとき、その事象が起きた回数 \(k\) が従う分布を「二項分布」と呼びます。

二項分布の確率密度関数は以下の式で表されます。$$P(X=k)={}_n \mathrm{C}_kp^kq^{n-k}  (p+q=1, k=0,1,2, \cdots ,n)$$ また、期待値及び分散は$$E[X]=np, V[X]=npq$$モーメント母関数は$$M(θ)=(pe^θ+q)^n$$



証明の前に、二項級数と組合せの公式を確認しておきます。
\begin{alignat}{2}
&(A) \displaystyle\sum_{k=0}^n {}_n \mathrm{C}_k p^k q^{n-k}=(p+q)^n=1\\
&(B) \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} {}_{n-1} \mathrm{C}_k p^k q^{n-k-1}=(p+q)^{n-1}=1\\
&(C) \displaystyle\sum_{k=0}^{n-2} {}_{n-2} \mathrm{C}_k p^k q^{n-k-2}=(p+q)^{n-2}=1\\
&(D) k \cdot {}_n \mathrm{C}_k=n \cdot {}_{n-1} \mathrm{C}_{k-1}\\
&(E) (k-1) \cdot {}_{n-1} \mathrm{C}_{k-1}={n-1} \cdot {}_{n-2} \mathrm{C}_{k-2}
\end{alignat}

<証明>
(1) 全確率が「1」であることを確認します。\((A)\) を用います。$$\displaystyle\sum_{k=1}^n P(X=k)=\displaystyle\sum_{k=0}^n {}_n \mathrm{C}_k p^k q^{n-k}=(p+q)^n=1$$



(2) 期待値を求めます。
$$E[X]=\displaystyle\sum_{k=0}^n k \cdot {}_n \mathrm{C}_k p^k q^{n-k} $$シグマを \(k=1\) からのスタートにして \((D)\) を用います。$$ =\displaystyle\sum_{k=1}^n k \cdot {}_n \mathrm{C}_k p^k q^{n-k}= \displaystyle\sum_{k=1}^n n \cdot {}_{n-1} \mathrm{C}_{k-1} p^k q^{n-k}$$\(n\) をシグマの外に出して、シグマを \(k=0\) からのスタートに書き直します。$$=n\displaystyle\sum_{k=1}^n {}_{n-1} \mathrm{C}_{k-1} p^k q^{n-k} =n\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} {}_{n-1} \mathrm{C}_k p^{k+1} q^{n-k-1}$$ \(p\) を一つだけ外に出して \((B)\) を用います。$$ =np\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} {}_{n-1} \mathrm{C}_k p^k q^{n-k-1}
=np(p+q)^{n-1}=np$$



(3) 分散を求めるために、まず \(E[X^2]\) を求めます。 $$E[X^2]=\displaystyle\sum_{k=0}^n k^2 \cdot {}_n \mathrm{C}_kp^kq^{n-k}$$\((D)\) を用いてから \(n\) を外に出します。シグマは \(k=1\) からのスタートにします。$$=\displaystyle\sum_{k=0}^n k \cdot n \cdot {}_{n-1} \mathrm{C}_{k-1} p^kq^{n-k}=n\displaystyle\sum_{k=1}^n k \cdot {}_{n-1} \mathrm{C}_{k-1} p^kq^{n-k}$$\(k\) の隣で \(1\) を引いて加えて、シグマを切り離します。
\begin{alignat}{2}
&=n\displaystyle\sum_{k=1}^n \{(k-1)+1\} \cdot {}_{n-1} \mathrm{C}_{k-1} p^kq^{n-k}\\
&=n\displaystyle\sum_{k=1}^n (k-1){}_{n-1} \mathrm{C}_{k-1} p^kq^{n-k}+ n\displaystyle\sum_{k=1}^n {}_{n-1} \mathrm{C}_{k-1} p^kq^{n-k}
\end{alignat}左のシグマのスタートを \(k=2\) にしてから \((E)\) を用います。 $$=n(n-1)\displaystyle\sum_{k=2}^n {}_{n-2} \mathrm{C}_{k-2} p^kq^{n-k}+ n\displaystyle\sum_{k=1}^n {}_{n-1} \mathrm{C}_{k-1} p^kq^{n-k} $$左右のシグマのスタートを \(k=0\) からに書き直します。$$=n(n-1)\displaystyle\sum_{k=0}^{n-2} {}_{n-2} \mathrm{C}_k p^{k+2}q^{n-k-2}+ n\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} {}_{n-1} \mathrm{C}_k p^{k+1}q^{n-k-1}$$左のシグマでは \(p^2\) を、右のシグマでは \(p\) を外に出します。 $$=n(n-1)p^2\displaystyle\sum_{k=0}^{n-2} {}_{n-2} \mathrm{C}_k p^kq^{n-k-2}+ np\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} {}_{n-1} \mathrm{C}_k p^kq^{n-k-1}$$ 左のシグマで \((C)\) 、右のシグマで \((B)\) を用います。$$=n(n-1)p^2(p+q)^{n-2}+np(p+q)^{n-1}=n(n-1)p^2+np$$

よって、分散 \(V[X]\) は
\begin{alignat}{2}
&V[X]=E[X^2]-E[X]^2=n(n-1)p^2+np-n^2p^2\\
&    =np-np^2=np(1-p)=npq
\end{alignat}



(4) モーメント母関数を求めます。$$M(θ)=E[e^{θK}]=\displaystyle\sum_{k=0}^n e^{θk} {}_n \mathrm{C}_k p^kq^{n-k}=\displaystyle\sum_{k=0}^n {}_n \mathrm{C}_k (pe^θ)^kq^{n-k}=(pe^θ+q)^n$$


(5) モーメント母関数から期待値と分散を求めます。
\begin{alignat}{2}
&M’(θ)=n(pe^θ+q)^{n-1}pe^θ\\
&E[X]=M’(0)=n(p+q)^{n-1}p=np\\
&\\
&M’’(θ)=np\{(n-1)(pe^θ+q)^{n-2}pe^θ\cdot e^θ+(pe^θ+q)^{n-1}e^θ\}\\
&     =npe^θ(pe^θ+q)^{n-2}\{(n-1)pe^θ+(pe^θ+q)\}\\
&     =npe^θ(pe^θ+q)^{n-2}(npe^θ-pe^θ+pe^θ+q)\\
&     =npe^θ(pe^θ+q)^{n-2}(npe^θ+q)\\
&M’’(0)=np(p+q)^{n-2}(np+q)=np(np+q)\\
&V[X]=M’’(0)-M’(0)^2=np(np+q)-n^2p^2=npq
\end{alignat}

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