二項式の因数分解(2)

$$x^n+1=\displaystyle \prod_{k=0}^{n-1}\left(x- \cos\frac{(2k+1)π}{n}-i \sin\frac{(2k+1)π}{n}\right)$$




<証明>

\(x^n=-1\) の解を求めるために \(x= \cos θ+i \sin θ\) とおくと$$x^n= \cos nθ+i \sin nθ$$一方 \(-1=-1+0 \cdot i=1 \cdot ( \cos π+i \sin π) \)$$ \cos nθ+i \sin nθ=1 \cdot ( \cos π+i \sin π)$$となるので \(r=1, nθ=π+2kπ\)$$ θ=\frac{2k+1}{n}π (k=0,1,2, \cdots ,n-1)$$よって \(x^n=-1\) の解は \(x_0= \cos \frac{1\cdot π}{n}+i \sin \frac{1 \cdot π}{n}\)$$ x_1= \cos \frac{3π}{n}+i \sin \frac{3π}{n}   x_2= \cos \frac{5π}{n}+i \sin \frac{5π}{n} $$$$ x_3= \cos \frac{7π}{n}+i \sin \frac{7π}{n} \cdots $$$$ \cdots  x_{n-1}= \cos \frac{2n-1}{n}π+i \sin \frac{2n-1}{n}π $$以上より \(x^n-1\) はこれら \(n\) 個の解を用いて因数分解できるので$$x^n-1=\left(x- \cos \frac{1 \cdot π}{n}-i \sin \frac{1 \cdot π}{n}\right)$$$$×\left(x- \cos \frac{3π}{n}-i \sin \frac{3π}{n} \right)\left(x- \cos \frac{5π}{n}-i \sin \frac{5π}{n}\right)$$$$×\left(x- \cos \frac{7π}{n}-i \sin \frac{7π}{n}\right) \cdots \left(x- \cos \frac{2n-1}{n}π-i \sin \frac{2n-1}{n}π\right)$$
$$x^n+1=\displaystyle \prod_{k=0}^{n-1}\left(x-\cos\frac{(2k+1)π}{n}-i \sin \frac{(2k+1)π}{n}\right)$$

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