二項式の因数分解(3)

$$x^{2n}-1=(x-1)(x+1)\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1}\left(x^2-2x \cos \frac{kπ}{n}+1\right)$$



<証明>
\(x^{2n}=1\) の解を求めるために \(x= \cos θ+ i \sin θ\) とおくと$$x^{2n}=\cos 2nθ+i \sin 2nθ,  1=1+0 \cdot i=1 \cdot ( \cos 0+i \sin 0) $$となるので$$ \cos 2nθ+i \sin 2nθ=1 \cdot ( \cos 0+i \sin 0)$$\(r=1, 2nθ=0+2kπ\)$$ θ=\frac{kπ}{n} (k=0,1,2, \cdots ,2n-1)$$よって \(x^{2n}=1\) の解は
\begin{alignat}{2}
&x_0= \cos \frac{0 \cdot π}{n}+i \sin \frac{0 \cdot π}{n}=e^{\frac{0 \cdot π}{n}i}=1\\
&x_1= \cos \frac{1 \cdot π}{n}+i \sin \frac{1 \cdot π}{n}=e^{\frac{1 \cdot π}{n}i}\\
&x_2= \cos \frac{2π}{n}+i \sin \frac{2π}{n}=e^{\frac{2π}{n}i}\\
&x_3= \cos \frac{3π}{n}+i \sin \frac{3π}{n}=e^{\frac{3π}{n}i}\\
&\\
&                   \cdots\\
&\\
&x_n= \cos \frac{n \cdot π}{n}+i \sin \frac{n \cdot π}{n}=e^{\frac{n \cdot π}{n}i}=e^{πi}=-1\\
&x_{n+1}= \cos \frac{(n+1)π}{n}+i \sin \frac{(n+1)π}{n}=e^{\frac{(n+1)π}{n}i} \cdots\\
&\\
&                   \cdots\\
&\\
&x_{2n-1}= \cos \frac{(2n-1)π}{n}+i \sin \frac{(2n-1)π}{n}=e^{\frac{(2n-1)π}{n}i}
\end{alignat}以上より \(x^n-1\) はこれら \(2n\) 個の解を用いて因数分解できるので$$x^{2n}-1=(x-1)(x+1)(x-e^{\frac{1 \cdot π}{n}i})(x-e^{\frac{2π}{n}i})(x-e^{\frac{3π}{n}i})(x-e^{\frac{4π}{n}i}) \cdots $$$$\cdots  (x-e^{\frac{(n-1)π}{n}i})(x-e^{\frac{(n+1)π}{n}i}) \cdots   ×(x-e^{\frac{(2n-1)π}{n}i}) $$次に右辺の \((x-1)(x+1)\) を除いた \(2n-2\) 個のうち \(2\) つの解を
「\(1\) 番目×\((2n-2)\) 番目」「\(2\) 番目×\((2n-3)\) 番目」…「\((n-1)\) 番目× \(n\)番目」のように計算していくと
\begin{alignat}{2}
&(x-e^{\frac{1 \cdot π}{n}i})(x-e^{\frac{(2n-1)π}{n}i})=x^2-xe^{\frac{π}{n}i}-xe^{\frac{(2n-1)π}{n}i}+e^{\frac{π}{n}i+\frac{(2n-1)π}{n}i}\\
&                    =x^2-x(e^{\frac{π}{n}i}+e^{-\frac{π}{n}i} \cdot e^{2πi})+e^{2πi}  (e^{2kπi}=1 , k \in \mathbb {Z} )\\
&                    =x^2-x(e^{\frac{π}{n}i}+e^{-\frac{π}{n}i})+1=x^2-2x\left(\frac{e^{\frac{π}{n}i}+e^{-\frac{π}{n}i}}{2}\right)+1\\
&                    =x^2-2x \cos \frac{1 \cdot π}{n}+1\\
&\\
&(x-e^{\frac{2π}{n}i})(x-e^{\frac{(2n-2)π}{n}i})= x^2-x(e^{\frac{2π}{n}i}+e^{\frac{(2n-2)π}{n}i})+e^{\frac{2π}{n}i+\frac{(2n-2)π}{n}i}\\
&                    =x^2-x(e^{\frac{2π}{n}i}+e^{-\frac{2π}{n}i} \cdot e^{2πi})+e^{2πi}=x^2-x\left(e^{\frac{2π}{n}i}+e^{-\frac{2π}{n}i}\right)+1\\
&                    = x^2-2x\left(\frac{e^{\frac{2π}{n}i}+e^{-\frac{2π}{n}i}}{2}\right)+1=x^2-2x \cos \frac{2π}{n}+1\\
&\\
&                   \cdots\\
&\\
&(x-e^{\frac{(n-1)π}{n}i})(x-e^{\frac{(n+1)π}{n}i})=x^2-x(e^{\frac{(n-1))π}{n}i}+e^{\frac{(n+1)π}{n}i})+e^{\frac{(n-1)π}{n}i+\frac{(n+1)π}{n}i}\\
&                    =x^2-x(e^{\frac{(n-1))π}{n}i}+e^{\frac{(n+1)π}{n}i} \cdot e^{-2πi})+e^{2πi}\\
&                    =x^2-x(e^{\frac{(n-1)π}{n}i}+e^{-\frac{(n-1)π}{n}i})+1\\
&                    =x^2-2x\left(\frac{e^{\frac{(n-1)π}{n}i}+e^{-\frac{(n-1)π}{n}i}}{2}\right)+1\\
&                    =x^2-2x \cos \frac{(n-1)π}{n}+1\\
\end{alignat}
よって右辺は \((x-1)(x+1)\) と上で計算した \((n-1)\) 個の積となるから$$x^{2n}=(x-1)(x+1)\left(x^2-2x \cos \frac{1 \cdot π}{n}+1 \right)\left(x^2-2x \cos \frac{2π}{n}+1 \right)  \cdots  \left(x^2-2x \cos \frac{(n-1)π}{n}+1 \right)$$以上より$$x^{2n}-1=(x-1)(x+1)\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1}\left(x^2-2x \cos \frac{kπ}{n}+1\right)$$

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です