二項式の因数分解(4)

$$x^{2n}+1=\displaystyle \prod_{k=0}^{n-1}\left(x^2-2x \cos \frac{(2k+1)π}{2n}+1\right)$$




<証明>

\(x^{2n}=-1\) の解を求めるために \(x= \cos θ+i \sin θ\) とおくと$$x^{2n}=\cos 2nθ+i \sin 2nθ$$一方 \(-1=-1+0 \cdot i=1 \cdot ( \cos π+i \sin π)\) $$ \cos 2nθ+i \sin 2nθ=1 \cdot ( \cos π+i \sin π)$$となるので \(r=1, 2nθ=π+2kπ\)$$ θ=\frac{2k+1}{2n}π (k=0,1,2, \cdots ,2n-1)$$よって \(x^{2n}=-1\) の解は
\begin{alignat}{2}
&x_0=cos\frac{1 \cdot π}{2n}+i \sin \frac{1 \cdot π}{2n}=e^{\frac{1 \cdot π}{n}i}\\
&x_1=\cos \frac{3π}{2n}+i \sin \frac{3π}{2n}=e^{\frac{3π}{2n}i}\\
&x_2= \cos \frac{5π}{2n}+i \sin \frac{5π}{2n}=e^{\frac{5π}{2n}i}\\
&x_3= \cos \frac{7π}{2n}+i \sin \frac{7π}{2n}=e^{\frac{7π}{2n}i}\\
&\\
&       \cdots\\
&\\
&x_{n-1}= \cos \frac{(2n-1)π}{2n}+i \sin \frac{(2n-1)π}{2n}=e^{\frac{(2n-1)π}{2n}i}\\
&x_{n}= \cos \frac{(2n+1)π}{2n}+i \sin \frac{(2n+1)π}{2n}=e^{\frac{(2n+1)π}{2n}i}\\
&\\
&       \cdots\\
&\\
&x_{2n-1}= \cos \frac{(4n-1)π}{2n}+i \sin \frac{(4n-1)π}{2n}=e^{\frac{(4n-1)π}{2n}i}\\
\end{alignat}以上より \(x^{2n}+1\) はこれら \(2n\) 個の解を用いて因数分解できるので$$x^{2n}+1=(x-e^{\frac{π}{2n}i})(x-e^{\frac{3π}{2n}i})(x-e^{\frac{5π}{2n}i})(x-e^{\frac{7π}{2n}i}) \cdots$$$$ \cdots (x-e^{\frac{(2n-1)π}{2n}i})(x-e^{\frac{(2n+1)π}{2n}i})\cdots (x-e^{\frac{(4n-1)π}{2n}i})$$
次に右辺の \(2n\) 個のうち2つを
「\(1\) 番目×\((2n)\) 番目」「\(2\) 番目×\((2n-1)\)番目」…「\(n\) 番目×\((n+1)\) 番目」のように計算していくと
\begin{alignat}{2}
&(x-e^{\frac{π}{2n}i})(x-e^{\frac{(4n-1)π}{2n}i})=x-xe^{\frac{π}{2n}i}-xe^{\frac{(4n-1)π}{2n}i}+e^{\frac{π}{2n}i+\frac{(4n-1)π}{2n}i}\\
&                   =x^2-x(e^{\frac{π}{2n}i}+e^{-\frac{π}{2n}i} \cdot e^{2πi})+e^{2πi}\\
&                   =x^2-2x\left(\frac{e^{\frac{π}{2n}i}+e^{-\frac{π}{2n}i}}{2}\right)+1=x^2-2x \cos \frac{π}{2n}+1
\end{alignat}\begin{alignat}{2}
&(x-e^{\frac{3π}{2n}i})(x-e^{\frac{(4n-3)π}{2n}i})=x-xe^{\frac{3π}{2n}i}-xe^{\frac{(4n-3)π}{2n}i}+e^{\frac{3π}{2n}i+\frac{(4n-3)π}{2n}i}\\
&                   =x^2-x(e^{\frac{3π}{2n}i}+e^{-\frac{3π}{2n}i} \cdot e^{2πi})+e^{2πi}\\
&                   =x^2-2x\left(\frac{e^{\frac{3π}{2n}i}+e^{-\frac{3π}{2n}i}}{2}\right)+1=x^2-2x \cos \frac{3π}{2n}+1\\
\end{alignat}
$$\cdots$$

\begin{alignat}{2}
&(x-e^{\frac{(2n-1)π}{2n}i})(x-e^{\frac{(2n+1)π}{2n}i})=x-xe^{\frac{(2n-1)π}{2n}i}-xe^{\frac{(2n+1)π}{2n}i}+e^{\frac{(2n-1)π}{2n}i+\frac{(2n+1)π}{2n}i}\\
&                     =x^2-x(e^{\frac{(2n-1)π}{2n}i}+e^{\frac{(2n+1)π}{2n}i} )+e^{2πi}\\
&                     =x^2-x(e^{\frac{(2n-1)π}{2n}i}+e^{\frac{(2n+1)π}{2n}i} \cdot e^{-2πi})+1\\
&                     =x^2-x\left(e^{\frac{(2n-1)π}{2n}i}+e^{-\frac{(2n-1)π}{2n}i}\right)+1\\
&                     =x^2-2x\left(\frac{e^{\frac{(2n-1)π}{2n}i}+e^{-\frac{(2n-1)π}{2n}i}}{2}\right)+1\\
&                     =x^2-2x \cos \frac{(2n-1)π}{2n}+1
\end{alignat}
以上より、右辺はこれら \(n\) 個の積になるから$$x^{2n}+1=\left(x^2-2x \cos \frac{π}{2n}+1 \right)\left(x^2-2x \cos \frac{3π}{2n}+1\right) \cdots $$$$ \cdots\left(x^2-2x \cos \frac{(2n-1)π}{2n}+1\right)$$$$x^{2n}+1=\displaystyle \prod_{k=0}^{n-1}\left(x^2-2x \cos \frac{(2k+1)π}{2n}+1\right)$$

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