多重対数関数[1]

次の式を二重対数関数(dilogarithm)と呼びます。$$\mathrm{Li}_2 (x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^2}  (|x| \lt 1)$$
二重対数関数について、次式が成り立ちます。
\begin{alignat}{2}
&(1)  \mathrm{Li}_2(x)=-\displaystyle\int_0^x \frac{\log (1-t)}{t}dt\\
&(2)  \mathrm{Li}_2(1)=\frac{π^2}{6}\\
&(3)  \mathrm{Li}_2(-1)=-\frac{π^2}{12}\\
&(4)  \mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{π^2}{12}-\frac{1}{2}(\log 2)^2\\
\end{alignat}






<証明>

\((1)\)  次の \(\log (1-t) \) の級数において$$\log (1-t)=-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{n}$$両辺を \(t\) で割り \([0,x]\) で積分します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^x \frac{\log (1-t)}{t}dt&=-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\displaystyle\int_0^x t^{n-1}dt=-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\left[\frac{t^n}{n}\right]_0^x\\
&=-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^2}=-\mathrm{Li}_2(x)\\
\end{alignat}以上より$$\mathrm{Li}_2(x)=-\displaystyle\int_0^x \frac{\log (1-t)}{t}dt$$





\begin{alignat}{2}
&(2)  \mathrm{Li}_2(1)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=ζ(2)=\frac{π^2}{6}\\
&\\
&(3)  \mathrm{Li}_2(-1)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}=-η(2)=-\frac{π^2}{12}\\
\end{alignat}







\((4)\) 次のように積分区間を切り離します。
\begin{alignat}{2}
\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{2}\right)&=-\displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{\log (1-t)}{t}dt=-\displaystyle\int_0^1 \frac{\log (1-t)}{t}dt+\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^1 \frac{\log (1-t)}{t}dt\\
&=\mathrm{Li}_2(1)+\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^1 \frac{\log (1-t)}{t}dt=\frac{π^2}{6}+\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^1 \frac{\log (1-t)}{t}dt\\
\end{alignat}右の積分について \(1-t=s\) と置きます。\((dt=-ds)\)
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^1 \frac{\log (1-t)}{t}dt&=\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^0 \frac{\log s}{1-s}(-ds)=\displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{\log s}{1-s}ds\\
&=\left[-\log s \log (1-s)\right]_0^{\frac{1}{2}} +\displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{\log (1-s)}{s}ds\\
&=-\left(\log \frac{1}{2}\right)^2-\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{2}\right)=-(\log 2)^2-\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{2}\right)\\
\end{alignat}となるので、移項して両辺を \(2\) で割ります。$$\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{π^2}{6}-(\log 2)^2-\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{2}\right),  2\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{π^2}{6}-(\log 2)^2$$以上より$$\mathrm{Li}_2\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{π^2}{12}-\frac{1}{2}(\log 2)^2$$

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