オイラーの公式と三角関数及び双曲線関数の関係

次の等式をオイラーの公式と言います。$$e^{iθ}=\cos θ+i \sin θ$$この公式を用いると次のような関係式が得られます。
\begin{alignat}{2}
&(1) e^{iπ}+1=0, e^{2nπi}=1, e^{(2n+1)πi}=-1 (n \in \mathbb{N})\\
&(2) \sin θ=\frac{e^{iθ}-e^{-iθ}}{2i}, \cos θ=\frac{e^{iθ}+e^{-iθ}}{2}, \tan θ=-\frac{e^{iθ}-e^{-iθ}}{e^{iθ}+e^{-iθ}}i\\
&(3) e^{2iθ}=\frac{1+i \tan θ}{1-i \tan θ}
\end{alignat}上記の三角関数の表示から、次のように双曲線関数との関係式が得られます。
\begin{alignat}{2}
&(4)  \sinh x=-i \sin ix\\
&(5)  \cosh x=\cos ix\\
&(6)  \tanh x=-i \tan ix\\
&(7)  i \sin x=\sinh ix\\
&(8)  \cos x=\cosh ix\\
&(9)  i \tan x=\tanh ix
\end{alignat}











<証明>

まず \( \cos θ, \sin θ\) の級数展開を書いておきます。
\begin{alignat}{2}
&\cos θ=1-\frac{θ^2}{2!}+\frac{θ^4}{4!}-\frac{θ^6}{6!}+\frac{θ^8}{8!}- \cdots\\
&\sin θ=θ-\frac{θ^3}{3!}+\frac{θ^5}{5!}-\frac{θ^7}{7!}+\frac{θ^9}{9!}- \cdots
\end{alignat}\(e^{iθ}\) を級数展開すると
\begin{alignat}{2}
&e^{iθ}=1+iθ+\frac{(iθ)^2}{2!}+\frac{(iθ)^3}{3!}+\frac{(iθ)^4}{4!}+\frac{(iθ)^5}{5!}+\frac{(iθ)^6}{6!}+\frac{(iθ)^7}{7!}+ \cdots\\
&  =1+iθ-\frac{θ^2}{2!}-i\frac{θ^3}{3!}+\frac{θ^4}{4!}+i\frac{θ^5}{5!}-\frac{θ^6}{6!}-i\frac{θ^7}{7!}+ \cdots\\
&  =\left(1-\frac{θ^2}{2!}+\frac{θ^4}{4!}-\frac{θ^6}{6!}+\frac{θ^8}{8!}- \cdots\right)+i\left(θ-\frac{θ^3}{3!}+\frac{θ^5}{5!}-\frac{θ^7}{7!}+\frac{θ^9}{9!}- \cdots\right)\\
&e^{iθ}=\cos θ+i \sin θ
\end{alignat}となります。





(1) 次にこの等式において \(θ=π\) とすると$$e^{iπ}=\cos π+i \sin π=-1, e^{iπ}+1=0$$この等式において \(θ=2nπ\) とすると$$e^{2nπi}=\cos (2n)π+i \sin (2n)π=1, e^{2nπi}=1$$この等式において \(θ=(2n+1)π\) とすると$$e^{(2n+1)πi}=\cos (2n+1)π+i \sin (2n+1)π=-1, e^{2nπi}=-1$$

(2) オイラーの公式の \(θ\) を\(-θ\) とすると$$e^{-iθ}=\cos (-θ)+i \sin (-θ)=\cos θ-i \sin θ \cdots (A)$$となるので、オイラーの公式とこの \((A)\) の式を足して \(2\) で割る、引いて \(2i\) で割ると\begin{alignat}{2}
&2 \cos θ=e^{iθ}+e^{-iθ}, \cos θ=\frac{e^{iθ}+e^{-iθ}}{2}\\
&2i \sin θ=e^{iθ}-e^{-iθ}, \sin θ=\frac{e^{iθ}-e^{-iθ}}{2i}
\end{alignat}となります。\(\tan θ\) は相互関係より
\begin{alignat}{2}
&\tan θ=\frac{\sin θ}{\cos θ}=\frac{e^{iθ}-e^{-iθ}}{2i}\cdot \frac{2}{e^{iθ}+e^{-iθ}}\\
&    =\frac{e^{iθ}-e^{-iθ}}{i(e^{iθ}+e^{-iθ})}=-\frac{e^{iθ}-e^{-iθ}}{e^{iθ}+e^{-iθ}}i
\end{alignat}

(3) オイラーの公式を \((A)\) の式で割ります。$$e^{2iθ}=\frac{\cos θ+i \sin θ}{\cos θ-i \sin θ}=\frac{1+i \tan θ}{1-i \tan θ}$$


三角関数と双曲線関数の関係を確認します。
\begin{alignat}{2}
&(4) -i \sin ix=-i \cdot \frac{e^{i^2x}-e^{-i^2x}}{2i}=-\frac{e^{-x}-e^x}{2}=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\sinh x\\
&(5) \cos ix=\frac{e^{i^2x}+e^{-i^2x}}{2}=\frac{e^{-x}+e^x}{2}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh x\\
&(6) -i \tan ix=-i \cdot (-i) \frac{e^{i^2x}-e^{-i^2x}}{e^{i^2x}+e^{-i^2x}}=-\frac{e^{-x}-e^x}{e^{-x}+e^x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}=\tanh x\\
&(7) \sinh ix=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2}=i \cdot \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}=i \sin x\\
&(8) \cosh ix=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}=\cos x\\
&(9) \tanh ix=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}}=i\cdot \left(-\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}}i\right)=i \tan x
\end{alignat}

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です