{(π/4)-xtanx}/cos2x[0,π/4]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \left(\frac{π}{4}-x \tan x\right)\tan xdx=\frac{1}{2}\log 2+\frac{π^2}{32}-\frac{π}{4}+\frac{π}{8}\log 2\\
&(2)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\left(\frac{π}{4}-x\right)\tan x}{\cos 2x}dx=-\frac{π}{8}\log 2+\frac{1}{2}G\\
&(3)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\frac{π}{4}-x\tan x}{\cos 2x}dx=\frac{π}{8}\log 2+\frac{1}{2}G\\
\end{alignat}









<証明>

次の定積分の結果を用います。[詳細はこちらです。(A)(B)(C)]
\begin{alignat}{2}
&(A)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} x\tan^2 xdx=\frac{π}{4}-\frac{1}{2}\log 2 -\frac{π^2}{32}\\
&(B)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}\log (1+\tan x)dx=\frac{π}{8}\log 2\\
&(C)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}\log (1-\tan x)dx=\frac{π}{8}\log 2-G\\
\end{alignat}





\((1)\) 積分を切り離して \((A)\) の式を代入します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \left(\frac{π}{4}-x \tan x\right)\tan xdx&=\frac{π}{4}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \tan xdx-\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} x \tan^2 xdx\\
&=\frac{π}{4}[-\log (\cos x)]_0^{\frac{π}{4}} -\left(\frac{π}{4}-\frac{1}{2}\log 2 -\frac{π^2}{32}\right)\\
&=-\frac{π}{4}\log \frac{1}{\sqrt{2}} -\frac{π}{4}+\frac{1}{2}\log 2 +\frac{π^2}{32}\\
&=\frac{1}{2}\log 2+\frac{π^2}{32}-\frac{π}{4}+\frac{π}{8}\log 2\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \left(\frac{π}{4}-x \tan x\right)\tan xdx=\frac{1}{2}\log 2+\frac{π^2}{32}-\frac{π}{4}+\frac{π}{8}\log 2$$








\((2)\) 部分積分を行うために、次の積分を計算しておきます。$$\displaystyle\int \frac{\tan x}{\cos 2x}dx=\displaystyle\int \frac{\tan x}{\cos^2 x-\sin^2 x}dx=\displaystyle\int \frac{\tan x}{1-\tan^2 x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x}dx$$\(\tan x=t\) と置きます。\(\displaystyle \left(\frac{1}{\cos^2 x}dx=dt\right)\)$$=\displaystyle\int \frac{t}{1-t^2}dt=-\frac{1}{2}\log (1-t^2)=-\frac{1}{2}\log (1-\tan^2 x)+C$$よって$$\displaystyle\int \frac{\tan x}{\cos 2x}dx=-\frac{1}{2}\log (1-\tan^2 x)+C$$
部分積分を行い \((B)(C)\) の式を代入します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\left(\frac{π}{4}-x\right)\tan x}{\cos 2x}dx&=\left[\left(\frac{π}{4}-x\right)\left(-\frac{1}{2}\right)\log (1-\tan^2 x)\right]_0^{\frac{π}{4}}-\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}\log (1-\tan^2 x)dx\\
&=-\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}\log (1-\tan x)(1+\tan x)dx\\
&=-\frac{1}{2}\left\{\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}\log (1-\tan x)dx+\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}\log (1+\tan x)dx\right\}\\
&=-\frac{1}{2}\left(\frac{π}{8}\log 2-G+\frac{π}{8}\log 2\right)\\
&=-\frac{1}{2}\left(\frac{π}{4}\log 2-G\right)=-\frac{π}{8}\log 2+\frac{1}{2}G
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\left(\frac{π}{4}-x\right)\tan x}{\cos 2x}dx=-\frac{π}{8}\log 2+\frac{1}{2}G$$







\((3)\) 積分を切り離します。$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\frac{π}{4}-x\tan x}{\cos 2x}dx=\frac{π}{4}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{1}{\cos 2x}dx-\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{x \tan x}{\cos 2x}dx$$それぞれの積分を計算します。
\begin{alignat}{2}
(α)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}\frac{1}{\cos 2x}dx&=\left[\frac{1}{2}\log \left|\frac{1+\tan x}{1-\tan x}\right|\right]_0^{\frac{π}{4}}\\
&=\frac{1}{2}[\log (1+\tan x)-\log (1- \tan x)]_0^{\frac{π}{4}}\\
&=\frac{1}{2}\log 2 -\frac{1}{2} \displaystyle\lim_{x \to \frac{π}{4}} \log (1-\tan x)\\
\end{alignat}
\begin{alignat}{2}
(β)  \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{x \tan x}{\cos 2x}dx&=\left[-\frac{x}{2}\log |1-\tan^2 x|\right]_0^{\frac{π}{4}} +\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \log (1-\tan^2 x)dx\\
&=\left[-\frac{x}{2}\log (1+\tan x)(1-\tan x)\right]_0^{\frac{π}{4}} +\frac{π}{8}\log 2-\frac{1}{2}G\\
&=\left[-\frac{x}{2}\log (1+\tan x)-\frac{x}{2}\log (1-\tan x)\right]_0^{\frac{π}{4}} +\frac{π}{8}\log 2-\frac{1}{2}G\\
&=-\frac{π}{8}\log 2-\frac{π}{8}\displaystyle\lim_{x \to \frac{π}{4}} \log (1-\tan x)+\frac{π}{8}\log 2-\frac{1}{2}G\\
&=-\frac{π}{8}\displaystyle\lim_{x \to \frac{π}{4}} \log (1-\tan x)-\frac{1}{2}G\\
\end{alignat}元の積分計算に戻ります。
\begin{alignat}{2}
&=\frac{π}{4}\left\{\frac{1}{2}\log 2 -\frac{1}{2} \displaystyle\lim_{x \to \frac{π}{4}} \log (1-\tan x)\right\}+\frac{π}{8}\displaystyle\lim_{x \to \frac{π}{4}} \log (1-\tan x)+\frac{1}{2}G=\frac{π}{8}\log 2+\frac{1}{2}G\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}} \frac{\frac{π}{4}-x\tan x}{\cos 2x}dx=\frac{π}{8}\log 2+\frac{1}{2}G$$

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