psinx/(1-2pcosx+p^2)などの級数展開

次のような級数における等式が成り立ちます。
\begin{alignat}{2}
&(1)  \frac{p \sin x}{1-2p \cos x+p^2}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} p^n \sin nx\\
&(2)  \frac{1-p \cos x}{1-2p \cos x+p^2}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} p^n \cos nx\\
&(3)  \frac{p \sin x}{1+2p \cos x+p^2}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}p^n \sin nx\\
&(4)  \frac{p \sinh x}{1-2p \cosh x+p^2}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} p^n \sinh nx\\
&(5)  \frac{1-p \cosh x}{1-2p \cosh x+p^2}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} p^n \cosh nx\\
&(6)  \frac{p \sinh x}{1+2p \cosh x+p^2}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}p^n \sinh nx
\end{alignat}ただし、全て \(|p| \lt 1\)










<証明>

どちらもオイラーの公式を用いたあとに因数分解で分数を切り離し、
級数へと変形します。

\begin{alignat}{2}
(1)  \frac{p \sin x}{1-2p \cos x+p^2}&=p \cdot \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\cdot \frac{1}{1-p(e^{ix}+e^{-ix})+p^2}\\
&=\frac{1}{2i}\cdot \frac{p(e^{ix}-e^{-ix})}{1-pe^{ix}-pe^{-ix}+p^2}\\
&=\frac{1}{2i}\cdot \frac{p(e^x-e^{-ix})}{(1-pe^{-ix})(1-pe^{ix})}\\
&=\frac{1}{2i}\cdot \frac{1-pe^{-ix}-(1-pe^{ix})}{(1-pe^{-ix})(1-pe^{ix})}\\
&=\frac{1}{2i}\left(\frac{1}{1-pe^{ix}}-\frac{1}{1-pe^{-ix}}\right)\\
&=\frac{1}{2i}\left\{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(pe^{ix})^n-\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(pe^{-ix})^n\right\}\\
&=\frac{1}{2i}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} p^n(e^{inx}-e^{-inx})=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} p^n \sin nx\\
\end{alignat}以上より$$\frac{p \sin x}{1-2p \cos x+p^2}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} p^n \sin nx  (|p| \lt 1)$$









\begin{alignat}{2}
(2)  \frac{1-p \cos x}{1-2p \cos x+p^2}&=\left(1-p \cdot \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\right) \frac{1}{1-p(e^{ix}+e^{-ix})+p^2}\\
&=\frac{2-p(e^{ix}+e^{-ix})}{2}\cdot \frac{1}{1-pe^{ix}-pe^{-ix}+p^2}\\
&=\frac{1}{2}\cdot \frac{2-p(e^{ix}+e^{-ix})}{(e^{ix}-p)(e^{-ix}-p)}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1-pe^{-ix}+(1-pe^{ix})}{(1-pe^{-ix})(1-pe^{ix})}\\
&=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-pe^{ix}}+\frac{1}{1-pe^{-ix}}\right)=\frac{1}{2}\left\{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(pe^{ix})^n+\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(pe^{-ix})^n\right\}\\
&=\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} p^n(e^{inx}+e^{-inx})=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} p^n \cos nx\\
\end{alignat}以上より$$\frac{1-p \cos x}{1-2p \cos x+p^2}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} p^n \cos nx  (|p| \lt 1)$$







\begin{alignat}{2}
(3)  \frac{p \sin x}{1+2p \cos x+p^2}&=p \cdot \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\cdot \frac{1}{1+p(e^{ix}+e^{-ix})+p^2}\\
&=\frac{1}{2i}\cdot \frac{p(e^{ix}-e^{-ix})}{1+pe^{ix}+pe^{-ix}+p^2}=\frac{1}{2i}\cdot \frac{p(e^{ix}-e^{-ix})}{(1+pe^{-ix})(1+pe^{ix})}\\
&=\frac{1}{2i}\cdot \frac{1+pe^{ix}-(1+pe^{-ix})}{(1+pe^{-ix})(1+pe^{ix})}=\frac{1}{2i}\left(\frac{1}{1+pe^{-ix}}-\frac{1}{1+pe^{ix}}\right)\\
&=\frac{1}{2i}\left\{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(pe^{-ix})^n-\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n(pe^{ix})^n\right\}\\
&=\frac{1}{2i}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^np^n(e^{-inx}-e^{inx})=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}p^n \sin nx\\
\end{alignat}以上より$$\frac{p \sin x}{1+2p \cos x+p^2}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}p^n \sin nx  (|p| \lt 1)$$







\((4)\) \((1)\) の式において \(x \to ix\) とします。
\begin{alignat}{2}
\frac{p \sin ix}{1-2p \cos ix+p^2}&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} p^n \sin inx\\
\frac{ip \sinh x}{1-2p \cosh x+p^2}&=i\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} p^n \sinh nx\\
\end{alignat}以上より$$\frac{p \sinh x}{1-2p \cosh x+p^2}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} p^n \sinh nx  (|p| \lt 1)$$







\((5)\) \((2)\) の式において \(x \to ix\) とします。$$\frac{1-p \cos ix}{1-2p \cos ix+p^2}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} p^n \cos inx$$以上より$$\frac{1-p \cosh x}{1-2p \cosh x+p^2}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} p^n \cosh nx  (|p| \lt 1)$$







\((6)\) \((3)\) の式において \(x \to ix\) とします。
\begin{alignat}{2}
\frac{p \sin ix}{1+2p \cos ix+p^2}&=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}p^n \sin inx\\
\frac{ip \sinh x}{1+2p \cosh x+p^2}&=i\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}p^n \sinh nx\\
\end{alignat}以上より$$\frac{p \sinh x}{1+2p \cosh x+p^2}=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}p^n \sinh nx  (|p| \lt 1)$$

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