(q-r)x^{p-1}+(r-p)x^{q-1}+(p-q)x^{r-1}/(logx)^2[0,1]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^1 \frac{(1-x^p)(1-x^q)(1-x^r)}{(\log x)^2}dx\\
&=(p+q+1) \log (p+q+1)+(p+r+1) \log (p+r+1)+(q+r+1)\log (q+r+1)\\
&     -(p+1) \log (p+1)-(q+1) \log (q+1)\\
&        -(r+1) \log (r+1)-(p+q+r+1) \log (p+q+r+1)\\
&\\
&(2) \displaystyle\int_0^1 \frac{(q-r)x^{p-1}+(r-p)x^{q-1}+(p-q)x^{r-1}}{(\log x)^2}dx\\
&=(q-r)p \log p+(r-p)q \log q+(p-q)r \log r
\end{alignat}ただし、全て \(p,q,r \gt 0\)






<証明>

\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^1 \frac{(1-x^p)(1-x^q)(1-x^r)}{(\log x)^2}dx\\
&=\displaystyle\int_0^1 (1-x^r)\left(\displaystyle\int_0^p x^ada\right)\left(\displaystyle\int_0^q x^bdb\right)dx\\
&=\displaystyle\int_0^p \displaystyle\int_0^q \displaystyle\int_0^1 x^{a+b}(1-x^r)dxdbda\\
&=\displaystyle\int_0^p \displaystyle\int_0^q \displaystyle\int_0^1 (x^{a+b}-x^{a+b+r})dxdbda\\
&=\displaystyle\int_0^p \displaystyle\int_0^q \left[\frac{x^{a+b+1}}{a+b+1}-\frac{x^{a+b+r+1}}{a+b+r+1}\right]_0^1 dbda\\
&=\displaystyle\int_0^p \displaystyle\int_0^q \left(\frac{1}{a+b+1}-\frac{1}{a+b+r+1}\right) dbda\\
&=\displaystyle\int_0^p [\log (a+b+1)-\log (a+b+r+1)]_0^qda\\
&=\displaystyle\int_0^p \{ \log (a+q+1)-\log (a+q+r+1)-\log (a+1) +\log (a+r+1) \}da\\
&=[(a+q+1)\log (a+q+1)-(a+q+r+1) \log (a+q+r+1)-(a+1) log (a+1)+(a+r+1)\log (a+r+1)]_0^p\\
&=(p+q+1) \log (p+q+1)-(p+q+r+1) \log (p+q+r+1)-(p+1) \log (p+1)+(p+r+1 )\log (p+r+1)\\
&    -(q+1) \log (q+1)+(q+r+1) \log (q+r+1)-(r+1)\log (r+1)\\
\end{alignat}以上より
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^1 \frac{(1-x^p)(1-x^q)(1-x^r)}{(\log x)^2}dx\\
&=(p+q+1) \log (p+q+1)+(p+r+1) \log (p+r+1)+(q+r+1)\\
&    + \log (q+r+1)-(p+1) \log (p+1)-(q+1) \log (q+1)\\
&        -(r+1) \log (r+1)-(p+q+r+1) \log (p+q+r+1)\\
\end{alignat}







\((2)\) 次の定積分を \(I(p)\) と置きます。$$I(p)=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{p-1}}{(\log x)^2}dx$$\(I(p)\) を \(p\) で \(2\) 回微分します。$$I’(p)=\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{p-1}}{\log x}dx,  I’’(p)=\displaystyle\int_0^1 x^{p-1}dx$$このとき \(I’(1)=I(1)=0\) です。\(I(p)\) を求めます。$$I’’(p)=\displaystyle\int_0^1 x^{p-1}dx=\left[\frac{x^p}{p}\right]_0^1=\frac{1}{p}$$両辺を \(p\) で積分します。
\begin{alignat}{2}
&I’(p)=\log p+C,  I’(1)=C=0,  I’(p)=\log p\\
&\\
&I(p)=p \log p-p+C,  I(1)=-1+C=0,  C=1\\
\end{alignat}となるので$$I(p)=p \log p-p+1$$この結果を用いて、積分を計算します。
\begin{alignat}{2}
&  \displaystyle\int_0^1 \frac{(q-r)x^{p-1}+(r-p)x^{q-1}+(p-q)x^{r-1}}{(\log x)^2}dx\\
&=(q-r)\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{p-1}}{(\log x)^2}dx+(r-p)\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{q-1}}{(\log x)^2}dx+(p-q)\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{r-1}}{(\log x)^2}dx\\
&=(q-r)I(p)+(r-p)I(q)+(p-q)I(r)\\
&=(q-r)(p \log p-p+1)+(r-p)(q \log q-q+1)+(p-q)(r \log r-r+1)\\
&=(q-r)p \log p+(r-p)q \log q+(p-q)r \log r+(q-r)(1-p)+(r-p)(1-q)+(p-q)(1-r)\\
&=(q-r)p \log p+(r-p)q \log q+(p-q)r \log r
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \frac{(q-r)x^{p-1}+(r-p)x^{q-1}+(p-q)x^{r-1}}{(\log x)^2}dx=(q-r)p \log p+(r-p)q \log q+(p-q)r \log r$$

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