ライプニッツの公式(n階微分)

「ライプニッツの公式」は \(2\) つの関数の積を \(n\) 回微分したときの公式であり、次式で表されます。
$$\{f(x)g(x)\}^{(n)}=\displaystyle\sum_{k=0}^n {}_n \mathrm{C}_k f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x) $$











<証明>

数学的帰納法を用いて証明します。

\((α)\) \(n=1\) のとき

左辺について$$\{f(x)g(x)\}’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)$$右辺について
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\sum_{k=0}^1 {}_1 \mathrm{C}_k f^{(1-k)}(x)g^{(k)}(x)&={}_1 \mathrm{C}_0 f’(x)g(x)+{}_1 \mathrm{C}_1 f(x)g’(x)\\
&=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)\\
\end{alignat}となるので \(n=1\) のとき成り立つ。


\((β)\) \(n=m\) のとき$$\{f(x)g(x)\}^{(m)}=\displaystyle\sum_{k=0}^m {}_m \mathrm{C}_k f^{(m-k)}(x)g^{(k)}(x)  \cdots (A)$$が成り立つと仮定します。

\(n=m+1\) のときを調べます。

\((A)\) の式の両辺を \(x\) で微分します。
\begin{alignat}{2}
\{f(x)g(x)\}^{(m+1)}&=\displaystyle\sum_{k=0}^m {}_m \mathrm{C}_k \{f^{(m-k+1)}(x)g^{(k)}(x)+f^{(m-k)(x)}g^{(k+1)}(x)\}\\
&=\displaystyle\sum_{k=0}^m {}_m \mathrm{C}_k f^{(m-k+1)}(x)g^{(k)}(x)+\displaystyle\sum_{k=0}^m {}_m \mathrm{C}_k f^{(m-k)}(x)g^{(k+1)}(x)\\
\end{alignat}右辺の左の項について、\(k=0\) のときをシグマの外に出します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\sum_{k=0}^m {}_m \mathrm{C}_k f^{(m-k+1)}(x)g^{(k)}(x)&={}_m \mathrm{C}_0 f^{(m+1)}(x)g^{(0)}(x)+\displaystyle\sum_{k=1}^m {}_m \mathrm{C}_k f^{(m-k+1)}(x)g^{(k)}(x)\\
&= f^{(m+1)}(x)g^{(0)}(x)+\displaystyle\sum_{k=1}^m {}_m \mathrm{C}_k f^{(m-k+1)}(x)g^{(k)}(x)\\
\end{alignat}右辺の右の項について、シグマのスタートを \(k=1\) へとずらしてから

\(k=m+1\) のときをシグマの外に出します。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\sum_{k=0}^m {}_m \mathrm{C}_k f^{(m-k)}(x)g^{(k+1)}(x)&=\displaystyle\sum_{k=1}^{m+1} {}_m \mathrm{C}_{k-1} f^{(m-k+1)}(x)g^{(k)}(x)\\
&={}_m \mathrm{C}_m f^{(0)}(x)g^{(m+1)}(x)+\displaystyle\sum_{k=1}^m {}_m \mathrm{C}_{k-1} f^{(m-k+1)}(x)g^{(k)}(x)\\
&=f^{(0)}(x)g^{(m+1)}(x)+\displaystyle\sum_{k=1}^m {}_m \mathrm{C}_{k-1} f^{(m-k+1)}(x)g^{(k)}(x)\\
\end{alignat}元の式に、これらを代入します。
\begin{alignat}{2}
\{f(x)g(x)\}^{(m+1)}&=\left\{f^{(m+1)}(x)g^{(0)}(x)+\displaystyle\sum_{k=1}^m {}_m \mathrm{C}_k f^{(m-k+1)}(x)g^{(k)}(x)\right\}+\left\{f^{(0)}(x)g^{(m+1)}(x)+\displaystyle\sum_{k=1}^m {}_m \mathrm{C}_{k-1} f^{(m-k+1)}(x)g^{(k)}(x)\right\}\\
&=f^{(m+1)}(x)g^{(0)}(x)+f^{(0)}(x)g^{(m+1)}(x)+\displaystyle\sum_{k=1}^m ({}_m \mathrm{C}_k+{}_m \mathrm{C}_{k-1}) f^{(m-k+1)}(x)g^{(k)}(x)\\
&={}_{m+1} \mathrm{C}_0f^{(m+1)}(x)g^{(0)}(x)+{}_{m+1} \mathrm{C}_{m+1}f^{(0)}(x)g^{(m+1)}(x)+\displaystyle\sum_{k=1}^m {}_{m+1} \mathrm{C}_{k} f^{(m+1-k)}(x)g^{(k)}(x)\\
&=\displaystyle\sum_{k=0}^{m+1} {}_{m+1} \mathrm{C}_k f^{(m+1-k)}(x)g^{(k)}(x)
\end{alignat}となって \(n=m+1\) のときも成り立つ。

以上より、次式が成り立つ。$$\{f(x)g(x)\}^{(n)}=\displaystyle\sum_{k=0}^n {}_n \mathrm{C}_k f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x)$$


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