ラプラス変換[1]

関数 \(f(t)\) に \(e^{-st}\) を掛けて \([0,∞]\) で積分を行う変換を
ラプラス変換と呼びます。

変換後の関数を \(F(s)\) とすると、ラプラス変換は次式で表されます。$$F(s)=L[f(t)]=\displaystyle\int_0^{\infty} f(t)e^{-st}dt  (t \geq 0)$$

以下、ラプラス変換の公式を示します。

\begin{alignat}{2}
&(1)  L[1]=\frac{1}{s}\\
&(2)  L[t^n]=\frac{Γ(n+1)}{s^{n+1}}\\
&(3)  L[e^{at}]=\frac{1}{s-a}\\
&(4)  L[\sin at]=\frac{a}{s^2+a^2}\\
&(5)  L[\cos at]=\frac{s}{s^2+a^2}\\
&(6)  L[\sinh at]=\frac{a}{s^2-a^2}\\
&(7)  L[\cosh at]=\frac{s}{s^2-a^2}\\
&(8)  L[δ(t-a)]=e^{-as}\\
&(9)  L[u(t-a)]=\frac{e^{-as}}{s}\\
&(10)  L[f(t-a)u(t-a)]=e^{-as}F(s)
\end{alignat}
また \(δ(t-a)\) はディラックのデルタ関数。(詳細はこちらです。)

\(u(t-a)\) はヘビィサイドの階段関数です。(詳細はこちらです。)





<証明>

$$(1) L[1]=\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-st}dt=\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_0^{\infty}=\frac{1}{s}$$






\((2)\) \(st=u\) と置きます。\((sdt=du)\)
\begin{alignat}{2}
L[t^n]&=\displaystyle\int_0^{\infty} t^n e^{-st}dt=\displaystyle\int_0^{\infty} \left(\frac{u}{s}\right)^n e^{-u} \cdot \frac{1}{s}du\\
&=\frac{1}{s^{n+1}}\displaystyle\int_0^{\infty} u^ne^{-u}du=\frac{Γ(s+1)}{s^{n+1}}\\
\end{alignat}







\begin{alignat}{2}
(3) L[e^{at}]&=\displaystyle\int_0^{\infty} e^{at} \cdot e^{-st}dt=\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-(s-a)t} dt\\
&=\left[-\frac{1}{s-a}e^{-(s-a)t}\right]_0^{\infty}=\frac{1}{s-a}\\
\end{alignat}






\begin{alignat}{2}
&(4) L[\sin at]=\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-st} \sin atdt\\
&          =\left[\frac{e^{-st}}{s^2+a^2}(-s \cdot \sin at-a \cos at)\right]_0^{\infty}=\frac{a}{s^2+a^2}\\
\end{alignat}







\begin{alignat}{2}
&(5) L[\cos at]=\displaystyle\int_0^{\infty} e^{-st} \cos atdt\\
&          =\left[\frac{e^{-st}}{s^2+a^2}(a \cdot \sin at-s \cos at)\right]_0^{\infty}=\frac{s}{s^2+a^2}\\
\end{alignat}







\begin{alignat}{2}
&(6) L[\sinh at]=\frac{1}{2}L[e^{at}-e^{-at}]\\
&           =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-a}-\frac{1}{s+a}\right)
=\frac{a}{s^2-a^2}\\
\end{alignat}







\begin{alignat}{2}
&(7) L[\cosh at]=\frac{1}{2}L[e^{at}+e^{-at}]\\
&           =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-a}+\frac{1}{s+a}\right)
=\frac{s}{s^2-a^2}\\
\end{alignat}








$$(8) L[δ(t-a)]=\displaystyle\int_0^{\infty} δ(t-a)e^{-st}dt$$ディラックのデルタ関数の公式を用いるために
積分区間を \([-\infty,\infty]\) とします。$$=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} δ(t-a)e^{-st}dt=e^{-as}$$







\begin{alignat}{2}
&(9) L[u(t-a)]=\displaystyle\int_0^{\infty} u(t-a)e^{-st}dt\\
&            =\displaystyle\int_a^{\infty} e^{-st}dt=\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\right]
_0^{\infty}=\frac{e^{-as}}{s}
\end{alignat}






\begin{alignat}{2}
&(10) L[f(t-a)u(t-a)]=\displaystyle\int_0^{\infty}f(t-a)u(t-a)e^{-st}dt\\
&                    =\displaystyle\int_a^{\infty}f(t-a)e^{-st}dt\\
\end{alignat}\(t-a=x\) と置きます。\((t=dx)\)$$=\displaystyle\int_0^{\infty} f(x)e^{-s(x+a)}dx=e^{-as}\displaystyle\int_0^{\infty} f(x)e^{-sx}dx=e^{-as} F(s)$$

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