ラプラス変換[3]

以下はラプラス変換の公式です。
\begin{alignat}{2}
&(1)  L[f’(t)]=sF(s)-f(0)\\
&(2)  L[f’’(t)]=s^2F(s)-sf(0)-f’(0)\\
&(3)  L[f^{(n)}(t)]=s^nF(s)-\{s^{n-1}f(0)+s^{n-2}f’(0)+ \cdots +f^{(n-1)}(0)\}\\
&(4)  L\left[\displaystyle\int_0^t f(u)du\right]=\frac{1}{s}F(s)\\
&(5)  L\left[\displaystyle\int_0^t \displaystyle\int_0^{u_{n-1}}\displaystyle\int_0^{u_{n-2}} \cdots \displaystyle\int_0^{u_1}f(u)dudu_1du_2 \cdots du_{n-2}du_{n-1}\right]=\frac{1}{s^n}F(s)\\
\end{alignat}ただし、全て \(n \in \mathrm{N}\)









<証明>

\((1)\) 部分積分を行います。
\begin{alignat}{2}
&L[f’(t)]=\displaystyle\int_0^{\infty} f’(t)e^{-st}dt=[f(t)e^{-st}]_0^{\infty} +s\displaystyle\int_0^{\infty} f(t)e^{-st}dt\\
&      =sF(s)-f(0)\\
\end{alignat}


\((2)\) 部分積分後、\((1)\) を代入します。
\begin{alignat}{2}
&L[f’’(t)]=\displaystyle\int_0^{\infty} f’’(t)e^{-st}dt=[f’(t)e^{-st}]_0^{\infty} +s\displaystyle\int_0^{\infty} f’(t)e^{-st}dt\\
&      =-f’(0)+s\{sF(s)-f(0)\}\\
&      =s^2F(s)-sf(0)-f’(0)
\end{alignat}




\((3)\) 数学的帰納法により証明します。

\(n=1\) のときは \((1)\) で示しています。

\(n=k\) のとき$$L[f^{(k)}(t)]=s^kF(s)-\{s^{k-1}f(0)+s^{k-2}f’(0)+ \cdots +f^{(k-1)}(0)\}$$が成り立つと仮定します。

\(n=k+1\) のとき
\begin{alignat}{2}
&L[f^{(k+1)}(t)]=\displaystyle\int_0^{\infty} f^{(k+1)}(t)e^{-st}dt\\
&          =[f^{(k)}(t)e^{-st}]_0^{\infty}+s\displaystyle\int_0^{\infty} f^{k}(t)e^{-st}dt\\
&          =-f^{(k)}(0)+s\left[s^kF(s)-\{s^{k-1}f(0)+s^{k-2}f’(0)+ \cdots +f^{(k-1)}(0)\}\right]\\
&          =s^{k+1}F(s)-\{s^{k}f(0)+s^{k-1}f’(0)+ \cdots +sf^{(k-1)}(0)+f^{(k)}(0)\}
\end{alignat}となって \(n=k+1\) のときも成り立つ。以上より$$L[f^{(n)}(t)]=s^nF(s)-\{s^{n-1}f(0)+s^{n-2}f’(0)+ \cdots +f^{(n-1)}(0)\}$$








\((4)\) 次のように関数を置きます。$$\displaystyle\int_0^t f(u)du=g(t),  f(t)=g’(t)$$両辺をラプラス変換します。$$L[g’(t)]=sG(s)-g(0)=F(s),  G(s)=\frac{1}{s}F(s)$$置いた関数を元に戻します。$$L\left[\displaystyle\int_0^t f(u)du\right]=L[g(t)]=G(s)=\frac{1}{s}F(s)$$以上より$$L\left[\displaystyle\int_0^t f(u)du\right]=\frac{1}{s}F(s)$$








\((5)\) 数学的帰納法により証明します。

\(n=1\) のときは \((4)\) で示しています。

\(n=k\) のとき、次のように \(f(u)\) を \(k\) 重積分した関数を \(g_k(t)\) と置きます。$$g_k(t)=\displaystyle\int_0^t \displaystyle\int_0^{u_{k-1}}\displaystyle\int_0^{u_{k-2}} \cdots \displaystyle\int_0^{u_1}f(u)dudu_1du_2 \cdots du_{k-1}$$\(g_k(t)\) をラプラス変換したとき$$L[g_k(t)]=G_k(s)=\frac{1}{s^k}F(s)$$が成り立つと仮定します。

\(n=k+1\) のとき、\(f(u)\) を \(k+1\) 重積分した関数をラプラス変換すると
\begin{alignat}{2}
&  L\left[\displaystyle\int_0^t \displaystyle\int_0^{u_{k}}\displaystyle\int_0^{u_{k-1}} \cdots \displaystyle\int_0^{u_1}f(u)dudu_1du_2 \cdots du_{k-1}du_{k}\right]\\
&=L\left[\displaystyle\int_0^t g_k(u_k)du_k\right]=\frac{1}{s}G_k(s)=\frac{1}{s^{k+1}}F(s)
\end{alignat}となって \(n=k+1\) のときも成り立つ。以上より$$L\left[\displaystyle\int_0^t \displaystyle\int_0^{u_{n-1}}\displaystyle\int_0^{u_{n-2}} \cdots \displaystyle\int_0^{u_1}f(u)dudu_1du_2 \cdots du_{n-2}du_{n-1}\right]=\frac{1}{s^n}F(s)$$

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