ロバチェフスキーの積分定理

次の条件を満たすとき、
下記のように、計算すべき積分の形を変えることができます。

\((1)\) \(f(x+π)=f(x)\) かつ \(f(-x)=f(x)\) のとき$$\displaystyle\int_0^{\infty} f(x) \cdot \frac{\sin x}{x}dx=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}f(x)dx$$
\((2)\) \(f(x+π)=-f(x)\) かつ \(f(-x)=f(x)\) のとき$$\displaystyle\int_0^{\infty} f(x) \cdot \frac{\sin x}{x}dx=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}f(x) \cos xdx$$







<証明>

予め、証明の途中で用いる式を作っておきます。

三角関数の部分分数分解の式より$$\frac{π}{\sin πx}=\displaystyle\sum_{n=- \infty}^{\infty} \frac{(-1)^n}{x+n}$$\(πx=t\) と置くと$$\frac{π}{\sin t}=\displaystyle\sum_{n= -\infty}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\frac{t}{π}+n}=\displaystyle\sum_{n=- \infty}^{\infty} \frac{π(-1)^n}{t+nπ}$$両辺を \(π\) で割り \(t \to x\) へ戻します。$$\frac{1}{\sin x}=\displaystyle\sum_{n=- \infty}^{\infty} \frac{(-1)^n}{x+nπ}  \cdots (A)$$


同様に三角関数の部分分数分解の式より$$π \cot πx=\displaystyle\sum_{n=- \infty}^{\infty} \frac{1}{x+n}$$\(πx=t\) と置くと$$π \cot t=\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{\frac{t}{π}+n}=\displaystyle\sum_{n=- \infty}^{\infty} \frac{π}{t+nπ}$$両辺を \(π\) で割り \(t \to x\) へ戻します。$$\cot x=\displaystyle\sum_{n=- \infty}^{\infty} \frac{1}{x+nπ}  \cdots (B)$$






\((1)(2)\) \(f(-x)=f(x)\) を用いて積分区間を \([-\infty,\infty]\) とします。$$\displaystyle\int_0^{\infty} f(x) \cdot \frac{\sin x}{x}dx=\frac{1}{2}\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \cdot \frac{\sin x}{x}dx$$積分区間を間隔 \(π\) ごとに切り離し、シグマで表します。$$=\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} \displaystyle\int_{nπ}^{(n+1)π} f(x) \cdot \frac{\sin x}{x}dx$$\(x=t+nπ\) と置きます。$$=\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} \displaystyle\int_0^π f(t+nπ) \cdot \frac{\sin (t+nπ)}{t+nπ}dt \cdots (C)$$


ここから分岐します。

\((1)\) \(f(x+π)=f(x)\) を用いると$$=\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} \displaystyle\int_0^π f(t) \cdot \frac{(-1)^n\sin t}{t+nπ}dt$$\(t\) を \(x\) に戻してから \((A)\) を代入します。$$=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^π f(x) \sin x \left\{\displaystyle\sum_{n=- \infty}^{\infty} \frac{(-1)^n}{x+nπ}\right\}dx=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^π f(x) \sin x \cdot \frac{1}{\sin x}dx=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^π f(x)dx$$積分区間を切り離し、右側で \(x=π-t\) と置きます。

また条件より \(f(π-t)=f(t-π)=f(t)\) とします。
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{2}\left\{\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}f(x)dx+\displaystyle\int_{\frac{π}{2}}^π f(x)dx\right\}=\frac{1}{2}\left\{\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}f(x)dx+\displaystyle\int_{\frac{π}{2}}^0 f(π-t)(-dt)\right\}\\
&=\frac{1}{2}\left\{\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}f(x)dx+\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} f(t)dt\right\}=\frac{1}{2}\left\{\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}f(x)dx+\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} f(x)dx\right\}\\
&=\frac{1}{2} \cdot 2 \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}f(x)dx=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}f(x)dx
\end{alignat}
以上より \(f(x+π)=f(x)\) かつ \(f(-x)=f(x)\) のとき$$\displaystyle\int_0^{\infty} f(x) \cdot \frac{\sin x}{x}dx=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}f(x)dx$$





\((C)\) の式に戻ります。$$=\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} \displaystyle\int_0^π f(t+nπ) \cdot \frac{\sin (t+nπ)}{t+nπ}dt \cdots (C)$$

\((2)\) \(f(x+π)=-f(x)\) を用いると$$=\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty} \displaystyle\int_0^π (-1)^n f(t) \cdot \frac{(-1)^n\sin t}{t+nπ}dt$$\(t\) を \(x\) に戻してから \((B)\) を代入します。$$=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^π f(x) \sin x \left(\displaystyle\sum_{n=- \infty}^{\infty} \frac{1}{x+nπ}\right)dx=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^π f(x) \sin x \cdot \cot x dx=\frac{1}{2}\displaystyle\int_0^π f(x) \cos xdx$$積分区間を切り離し、右側で \(x=π-t\) と置きます。

また条件より \(f(π-t)=f(t-π)=-f(t)\) とします。
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{2}\left\{\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}f(x)\cos x dx+\displaystyle\int_{\frac{π}{2}}^π f(x) \cos x dx\right\}=\frac{1}{2}\left\{\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}f(x) \cos xdx+\displaystyle\int_{\frac{π}{2}}^0 f(π-t)\cos (π-t)(-dt)\right\}\\
&=\frac{1}{2}\left\{\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}f(x)\cos xdx+\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} f(t)\cos t dt\right\}=\frac{1}{2}\left\{\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}f(x)\cos x dx+\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} f(x) \cos xdx\right\}\\
&=\frac{1}{2} \cdot 2 \displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}f(x) \cos x dx=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}f(x) \cos xdx
\end{alignat}
以上より \(f(x+π)=-f(x)\) かつ \(f(-x)=f(x)\) のとき$$\displaystyle\int_0^{\infty} f(x) \cdot \frac{\sin x}{x}dx=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}f(x) \cos xdx$$

“ロバチェフスキーの積分定理” への14件の返信

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です