√(1-x^2)coshax[0,1]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\cosh axdx=\frac{π}{2a}I_1(a)\\
&(2) \displaystyle\int_0^1 \frac{\cosh ax}{\sqrt{1-x^2}}dx=\frac{π}{2}I_0(a)\\
\end{alignat}ただし 全て \(a \gt 0\)









<証明>

途中、次の定積分の結果を用います。(詳細はこちらです。)
\begin{alignat}{2}
&(A) \displaystyle\int_0^1 x^{2n}\sqrt{1-x^2}dx=\frac{(2n-1)!!}{(2n+2)!!} \cdot \frac{π}{2}\\
&(B) \displaystyle\int_0^1 \frac{x^{2n}}{\sqrt{1-x^2}}dx=\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \cdot \frac{π}{2}
\end{alignat}





どちらも \( \cosh ax\) を級数で表します。

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\cosh axdx\\
&=\displaystyle\int_0^1 \sqrt{1-x^2} \left\{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(ax)^{2n}}{(2n)!}\right\}dx=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a^{2n}}{(2n)!}\displaystyle\int_0^1 x^{2n}\sqrt{1-x^2}dx\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a^{2n}}{(2n)!} \cdot \frac{(2n-1)!!}{(2n+2)!!} \cdot \frac{π}{2} =\frac{π}{2a} \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a^{2n+1}}{(2n)!!(2n+2)!!}\\
&=\frac{π}{2a} \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a^{2n+1}}{2^n \cdot n! \cdot 2^{n+1}(n+1)!}=\frac{π}{2a}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!Γ(n+2)}\left(\frac{a}{2}\right)^{2n+1}=\frac{π}{2a}I_1(a)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\cosh axdx=\frac{π}{2a}I_1(a)$$








\begin{alignat}{2}
&(2) \displaystyle\int_0^1 \frac{\cosh ax}{\sqrt{1-x^2}}dx\\
&=\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \left\{\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(ax)^{2n}}{(2n)!}\right\}dx=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a^{2n}}{(2n)!}\displaystyle\int_0^1 \frac{x^{2n}}{\sqrt{1-x^2}}dx\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a^{2n}}{(2n)!} \cdot \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \cdot \frac{π}{2} =\frac{π}{2} \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a^{2n}}{(2n)!!(2n)!!}\\
&=\frac{π}{2} \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a^{2n}}{2^n \cdot n! \cdot 2^n \cdot n!}=\frac{π}{2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!Γ(n+1)}\left(\frac{a}{2}\right)^{2n}=\frac{π}{2}I_0(a)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\cosh axdx=\frac{π}{2}I_0(a)$$

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