√(a+bcosx)[0,π]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1)  \displaystyle\int_0^π \sqrt{a+b \cos x}dx=2\sqrt{a+b}\boldsymbol{E}\left(\sqrt{\frac{2b}{a+b}}\right)\\
&(2)  \displaystyle\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{a+b \sin x}dx=2\sqrt{a+b}\boldsymbol{E}\left(\sqrt{\frac{2b}{a+b}}\right)\\
&(3)  \displaystyle\int_0^π \frac{1}{\sqrt{a+b \cos x}}dx=\frac{2}{\sqrt{a+b}}\boldsymbol{K}\left(\sqrt{\frac{2b}{a+b}}\right)\\
&(4)  \displaystyle\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{\sqrt{a+b \sin x}}dx=\frac{2}{\sqrt{a+b}}\boldsymbol{K}\left(\sqrt{\frac{2b}{a+b}}\right)\\
\end{alignat}ただし、全て \(a \gt b\)









<証明>

変形後、次の定積分を用いて置き換えます。
\begin{alignat}{2}
&(A)  \boldsymbol{K}(k)=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-k^2 \sin^2 θ}}dθ\\
&(B)  \boldsymbol{E}(k)=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}}\sqrt{1-k^2 \sin^2 θ}dθ\\
\end{alignat}



\((1)\) \(x=2θ\) と置きます。\((dx=2dθ)\)
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^π \sqrt{a+b \cos x}dx&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sqrt{a+b \cos 2θ}\cdot 2dθ\\
&=2\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sqrt{a+b (1-2 \sin^2 θ)}dθ\\
&=2\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sqrt{a+b -2b \sin^2 θ)}dθ\\
&=2\sqrt{a+b}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \sqrt{1-\frac{2b}{a+b} \sin^2 θ}dθ\\
&=2\sqrt{a+b}\boldsymbol{E}\left(\sqrt{\frac{2b}{a+b}}\right)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^π \sqrt{a+b \cos x}dx=2\sqrt{a+b}\boldsymbol{E}\left(\sqrt{\frac{2b}{a+b}}\right)$$







\((2)\) \(\displaystyle x=\frac{π}{2}-t\) と置きます。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{a+b \sin x}dx&=\displaystyle\int_π^0 \sqrt{a+b \cos t}(-dt)\\
&=\displaystyle\int_0^π \sqrt{a+b \cos t}dt\\
&=2\sqrt{a+b}\boldsymbol{E}\left(\sqrt{\frac{2b}{a+b}}\right)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{a+b \sin x}dx=2\sqrt{a+b}\boldsymbol{E}\left(\sqrt{\frac{2b}{a+b}}\right)$$







\((3)\) \(x=2θ\) と置きます。\((dx=2dθ)\)
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_0^π \frac{1}{\sqrt{a+b \cos x}}dx&=\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{1}{\sqrt{a+b \cos 2θ}}\cdot 2dθ\\
&=2\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{1}{\sqrt{a+b (1-2 \sin^2 θ)}} dθ\\
&=2\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{1}{\sqrt{a+b -2b \sin^2 θ)}}dθ\\
&=\frac{2}{\sqrt{a+b}}\displaystyle\int_0^{\frac{π}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{2b}{a+b} \sin^2 θ}}dθ\\
&=\frac{2}{\sqrt{a+b}}\boldsymbol{K}\left(\sqrt{\frac{2b}{a+b}}\right)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_0^π \frac{1}{\sqrt{a+b \cos x}}dx=\frac{2}{\sqrt{a+b}}\boldsymbol{K}\left(\sqrt{\frac{2b}{a+b}}\right)$$







\((4)\) \(\displaystyle x=\frac{π}{2}-t\) と置きます。
\begin{alignat}{2}
\displaystyle\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{\sqrt{a+b \sin x}}dx&=\displaystyle\int_π^0 \frac{1}{\sqrt{a+b \cos t}}(-dt)\\
&=\displaystyle\int_0^π \frac{1}{\sqrt{a+b \cos t}}dt\\
&=\frac{2}{\sqrt{a+b}}\boldsymbol{K}\left(\sqrt{\frac{2b}{a+b}}\right)\\
\end{alignat}以上より$$\displaystyle\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{\sqrt{a+b \sin x}}dx=\frac{2}{\sqrt{a+b}}\boldsymbol{K}\left(\sqrt{\frac{2b}{a+b}}\right)$$

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