√aの2乗+xの2乗(a>0)を含む積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int x^2\sqrt{a^2+x^2}dx\\
&    =\frac{1}{8}\left\{x(a^2+2x^2)\sqrt{a^2+x^2}-a^4 \log|x+\sqrt{a^2+x^2}|\right\}\\
&(2) \displaystyle\int \frac{\sqrt{a^2+x^2}}{x}dx=\sqrt{a^2+x^2}-a \log \left|\frac{a+\sqrt{a^2+x^2}}{x}\right|\\
&(3) \displaystyle\int \frac{\sqrt{a^2+x^2}}{x^2}dx= \log |x+\sqrt{a^2+x^2}|-\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{x}\\
&(4) \displaystyle\int \frac{x^2}{\sqrt{a^2+x^2}}dx=\frac{1}{2}\left\{x\sqrt{a^2+x^2}-a^2 \log |x+\sqrt{a^2+x^2}|\right\}\\
&(5) \displaystyle\int \frac{1}{x\sqrt{a^2+x^2}}dx=\frac{1}{a} \log \left|\frac{x}{a+\sqrt{a^2+x^2}}\right|\\
&(6) \displaystyle\int \frac{1}{x^2\sqrt{a^2+x^2}}dx=-\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{a^2x}
\end{alignat}(積分定数は省略しています。)







<証明>

\((1)\) \(x^2\) の隣で \(a^2\) を加えて引いて、積分を切り離します。
\begin{alignat}{2}
&I=\displaystyle\int x^2\sqrt{a^2+x^2}dx=\displaystyle\int \{(a^2+x^2)-a^2\}\sqrt{a^2+x^2}dx\\
& =\displaystyle\int (a^2+x^2)^{\frac{3}{2}}dx-a^2\displaystyle\int \sqrt{a^2+x^2}dx
\end{alignat} 左の積分を部分積分します。
\begin{alignat}{2}
&I=x(a^2+x^2)^{\frac{3}{2}}-\displaystyle\int x\cdot \frac{3}{2}(a^2+x^2)^{\frac{1}{2}}\cdot 2xdx-a^2\displaystyle\int \sqrt{a^2+x^2}dx\\
& =x(a^2+x^2)^{\frac{3}{2}}-3\displaystyle\int x^2\sqrt{a^2+x^2}dx-a^2\displaystyle\int \sqrt{a^2+x^2}dx\\
& =x(a^2+x^2)^{\frac{3}{2}}-3I-a^2\displaystyle\int \sqrt{a^2+x^2}dx\\
&4I=x(a^2+x^2)^{\frac{3}{2}}-a^2\cdot \frac{1}{2}\left\{x\sqrt{a^2+x^2}+a^2 \log |x+\sqrt{a^2+x^2}\right\}\\
&  =x(a^2+x^2)^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{2}a^2 x\sqrt{a^2+x^2}-\frac{1}{2}a^4 \log |x+\sqrt{a^2+x^2}| \\
&  =x\sqrt{a^2+x^2}\left(a^2+x^2-\frac{1}{2}a^2\right)-\frac{1}{2}a^4 \log |x+\sqrt{a^2+x^2}| \\
&  =x\sqrt{a^2+x^2}\left(\frac{1}{2}a^2+x^2\right)-\frac{1}{2}a^4 \log |x+\sqrt{a^2+x^2}| \\
&  =\frac{1}{2}x(a^2+2x^2)\sqrt{a^2+x^2}-\frac{1}{2}a^4 \log |x+\sqrt{a^2+x^2}|
\end{alignat}両辺を4で割ります。$$ \displaystyle\int x^2\sqrt{a^2+x^2}dx=\frac{1}{8}\left\{x(a^2+2x^2)\sqrt{a^2+x^2}-a^4 \log |x+\sqrt{a^2+x^2}|\right\} $$



(2) \(\sqrt{a^2+x^2}=t\) と置きます。
  \(a^2+x^2=t^2, x^2=t^2-a^2\)
  \(\displaystyle xdx=tdt, dx=\frac{t}{x}dt\) を代入します。$$\displaystyle\int \frac{\sqrt{a^2+x^2}}{x}dx=\displaystyle\int \frac{t}{x} \cdot \frac{t}{x}dt=\displaystyle\int \frac{t^2}{t^2-a^2}dt$$\(a^2\) を引いて加えて、積分を切り離します。あとは部分分数分解です。
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\int \frac{(t^2-a^2)+a^2}{t^2-a^2}dt=\displaystyle\int dt+a^2\displaystyle\int \frac{1}{t^2-a^2}dt\\
&=t+a^2\displaystyle\int \frac{1}{(t-a)(t+a)}dt\\
&=t+\frac{a}{2}\displaystyle\int \left(\frac{1}{t-a}-\frac{1}{t+a}\right)dt\\
&=t+\frac{a}{2}\left\{ \log |t-a|- \log |t+a|\right\}\\
&=t-\frac{a}{2}\left\{ \log |t+a|- \log |t-a|\right\}\\
&=t-\frac{a}{2} \log \left|\frac{t+a}{t-a}\right|\\
&=\sqrt{a^2+x^2}-\frac{a}{2} \log \left|\frac{\sqrt{a^2+x^2}+a}{\sqrt{a^2+x^2}-a}\right|\\
&=\sqrt{a^2+x^2}-\frac{a}{2} \log \left|\frac{(\sqrt{a^2+x^2}+a)^2}{a^2+x^2-a^2}\right|\\
&=\sqrt{a^2+x^2}-\frac{a}{2} \log \left|\frac{(\sqrt{a^2+x^2}+a)^2}{x^2}\right|\\
&=\sqrt{a^2+x^2}-a \log \left|\frac{\sqrt{a^2+x^2}+a}{x}\right|\\
\end{alignat}$$ \displaystyle\int \frac{\sqrt{a^2+x^2}}{x}dx=\sqrt{a^2+x^2}-a \log \left|\frac{a+\sqrt{a^2+x^2}}{x}\right| $$



\((3)\) 部分積分をします。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \frac{\sqrt{a^2+x^2}}{x^2}dx=\displaystyle\int x^{-2}\sqrt{a^2+x^2}dx\\
&             =-\frac{1}{x} \cdot \sqrt{a^2+x^2}+\displaystyle\int \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{\sqrt{a^2+x^2}}dx\\
&             =-\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{x}+\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx
\end{alignat}$$\displaystyle\int \frac{\sqrt{a^2+x^2}}{x^2}dx= \log |x+\sqrt{a^2+x^2}|-\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{x} $$






\((4)\) \(x^2\) の隣で \(a^2\) を加えて引き、積分を切り離します。
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \frac{x^2}{\sqrt{a^2+x^2}}dx=\displaystyle\int \frac{(a^2+x^2)-a^2}{\sqrt{a^2+x^2}}dx\\
&=\displaystyle\int \sqrt{a^2+x^2}dx-a^2\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}}dx\\
&=\frac{1}{2}\left(x\sqrt{a^2+x^2}+a^2 \log |x+\sqrt{a^2+x^2}|\right)-a^2 \log |x+\sqrt{a^2+x^2}|\\
&=\frac{1}{2}\left(x\sqrt{a^2+x^2}-a^2 \log |x+\sqrt{a^2+x^2}|\right)
\end{alignat}$$ \displaystyle\int \frac{x^2}{\sqrt{a^2+x^2}}dx=\frac{1}{2}\left(x\sqrt{a^2+x^2}-a^2 \log |x+\sqrt{a^2+x^2}|\right)$$






\((5)\) \(x=a \tan θ\) と置きます。\(\displaystyle \left( dx=\frac{a}{ \cos^2 θ}dθ\right)\)
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \frac{1}{x\sqrt{a^2+x^2}}dx=\displaystyle\int \frac{1}{a \tan θ\sqrt{a^2+a^2 \tan^2 θ}}\cdot \frac{a}{ \cos^2 θ}dθ\\
&              =\frac{1}{a}\displaystyle\int \frac{1}{ \tan θ\sqrt{1 + \tan^2 θ}}\cdot \frac{1}{ \cos^2 θ}dθ\\
&              =\frac{1}{a}\displaystyle\int \frac{1}{ \tan θ \cos θ}dθ=\frac{1}{a}\displaystyle\int \frac{1}{ \sin θ}dθ\\
&              =\frac{1}{a}\displaystyle\int \frac{ \sin θ}{ \sin^2 θ}dθ =\frac{1}{a}\displaystyle\int \frac{ \sin θ}{1- \cos^2 θ}dθ
\end{alignat}\( \cos θ=t\) と置きます。\(( – \sin θdθ=dt )\)
\begin{alignat}{2}
&=-\frac{1}{a}\displaystyle\int \frac{1}{1-t^2}dt=\frac{1}{a}\displaystyle\int \frac{1}{t^2-1}dt=\frac{1}{a}\displaystyle\int \frac{1}{(t-1)(t+1)}dt\\
&=\frac{1}{2a}\displaystyle\int \left(\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1}\right)\\
&=\frac{1}{2a}\{ \log |t-1|- \log |t+1|\}\\
&=\frac{1}{2a} \log \left|\frac{t-1}{t+1}\right|=\frac{1}{2a} \log \left|\frac{ \cos θ-1}{ \cos θ+1}\right|
\end{alignat}\(\displaystyle \tan θ=\frac{x}{a}\) より \(\displaystyle \cos θ=\frac{a}{\sqrt{a^2+x^2}}\) を代入します。
\begin{alignat}{2}
&=\frac{1}{2a} \log \left|\frac{\frac{a}{\sqrt{a^2+x^2}}-1}{\frac{a}{\sqrt{a^2+x^2}}+1}\right|=\frac{1}{2a} \log \left|\frac{a-\sqrt{a^2+x^2}}{a+\sqrt{a^2+x^2}}\right|\\
&=\frac{1}{2a} \log \left|\frac{a^2-(a^2+x^2)}{(a+\sqrt{a^2+x^2})^2}\right|\\
&=\frac{1}{2a} \log \left|\frac{x^2}{(a+\sqrt{a^2+x^2})^2}\right|\\
&=\frac{1}{a} \log \left|\frac{x}{a+\sqrt{a^2+x^2}}\right|
\end{alignat}$$ \displaystyle\int \frac{1}{x\sqrt{a^2+x^2}}dx=\frac{1}{a} \log \left|\frac{x}{a+\sqrt{a^2+x^2}}\right| $$



\((6)\)  \(x=a \tan θ\) と置きます。\(\displaystyle \left( dx=\frac{a}{ \cos^2 θ}dθ\right)\)
\begin{alignat}{2}
&\displaystyle\int \frac{1}{x^2\sqrt{a^2+x^2}}dx=\displaystyle\int \frac{1}{a^2 \tan^2 θ\sqrt{a^2+a^2 \tan^2 θ}}\cdot \frac{a}{ \cos^2 θ}dθ\\
&              =\frac{1}{a^2}\displaystyle\int \frac{1}{ \tan^2 θ\sqrt{1+ \tan^2 θ}}\cdot \frac{1}{ \cos^2 θ}dθ\\
&              =\frac{1}{a^2}\displaystyle\int \frac{1}{ \tan^2 θ \cos θ}dθ=\frac{1}{a}\displaystyle\int \frac{ \cos^2 θ}{ \sin^2 θ \cos θ}dθ\\
&              =\frac{1}{a^2}\displaystyle\int \frac{ \cos θ}{ \sin^2 θ}dθ
\end{alignat}\( \cos θ=t\) と置きます。\(( – \sin θdθ=dt )\) $$=\frac{1}{a^2}\displaystyle\int \frac{1}{t^2}dt=-\frac{1}{a^2}\cdot \frac{1}{t}=-\frac{1}{a^2 \sin θ}$$ \(\displaystyle \tan θ=\frac{x}{a}\) より \(\displaystyle \sin θ=\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}\) を代入します。 $$=-\frac{1}{a^2}\cdot \frac{\sqrt{a^2+x^2}}{x}=-\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{a^2x}$$$$\displaystyle\int \frac{1}{x^2\sqrt{a^2+x^2}}dx=-\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{a^2x}$$


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