√logcotx[0,π/4]などの定積分

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}\sqrt{\log \cot x}dx=\frac{\sqrt{π}}{2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{(2n+1)^3}}\\
&(2) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}\frac{1}{\sqrt{\log \cot x}}dx=\sqrt{π}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{2n+1}}\\
\end{alignat}









<証明>

次の定積分の結果を用います。(詳細はこちらです。)
\begin{alignat}{2}
&(A) \displaystyle\int_0^1 \sqrt{\log \frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{1+x^2}dx=\frac{\sqrt{π}}{2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{(2n+1)^3}}\\
&(B) \displaystyle\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{\log \frac{1}{x}}} \cdot \frac{1}{1+x^2}dx=\sqrt{π}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{2n+1}}\\
\end{alignat}



どちらも \(\displaystyle \cot x=\frac{1}{t}\) と置きます。このとき
\begin{alignat}{2}
&-\frac{1}{\sin^2 x}dx=-\frac{1}{t^2}dt,  (1+ \cot^2 x)dx=\frac{1}{t^2}dt\\
&\left(1+\frac{1}{t^2}\right)dx=\frac{1}{t^2}dt,  \frac{t^2+1}{t^2}dx=\frac{1}{t^2}dt,  dx=\frac{1}{1+t^2}dt\\
\end{alignat}となるので、これらを代入します。

\begin{alignat}{2}
&(1) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}\sqrt{\log \cot x}dx\\
&=\displaystyle\int_0^1 \sqrt{\log \frac{1}{t}} \cdot \frac{1}{1+t^2}dt=\frac{\sqrt{π}}{2}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{(2n+1)^3}}\\
\end{alignat}






\begin{alignat}{2}
&(2) \displaystyle\int_0^{\frac{π}{4}}\frac{1}{\sqrt{\log \cot x}}dx\\
&=\displaystyle\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{\log \frac{1}{t}}} \cdot \frac{1}{1+t^2}dt=\sqrt{π}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{2n+1}}\\
\end{alignat}

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