ルジャンドル多項式[7]

ルジャンドル多項式は次式で表されます。$$P_{n}(x)=\frac{1}{2^n}\displaystyle\sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \frac{(-1)^k(2n-2k)!}{k!(n-k)!(n-2k)!}x^{n-2k}  (n \in \mathrm{N})$$

このとき \(P_n(x)\) について、次の等式が成り立ちます。

\((1)\) ロドリグの公式$$P_{n}(x)=\frac{1}{2^nn!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n$$

\((2)\) ルジャンドル多項式の母関数$$\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} P_n(x)t^n  (|x| \leq 1,\, |t| \lt 1)$$













<証明>

次の「二重シグマの交換式」を用います。$$(A)  \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \displaystyle\sum_{m=0}^k a_{m,k}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \displaystyle\sum_{m=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]}a_{m,n-m}  (n=k+m)$$




\((1)\) ロドリグの公式の右辺が「ルジャンドル多項式」に一致することを確認します。

\((x^2-1)^n\) で二項定理を用います。
\begin{alignat}{2}
\frac{1}{2^nn!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n&=\frac{1}{2^nn!}\frac{d^n}{dx^n} \displaystyle\sum_{k=0}^n {}_n\mathrm{C}_k (-1)^k x^{2(n-k)}\\
&=\frac{1}{2^nn!} \displaystyle\sum_{k=0}^n (-1)^k \cdot \frac{n!}{k!(n-k)!} \left(\frac{d^n}{dx^n}x^{2n-2k}\right)\\
&=\frac{1}{2^nn!} \displaystyle\sum_{k=0}^n (-1)^k \cdot \frac{n!}{k!(n-k)!} \cdot (2n-2k)(2n-2k-1) \cdots (2n-2k-n+1)x^{n-2k}\\
&=\frac{1}{2^n} \displaystyle\sum_{k=0}^n (-1)^k \cdot \frac{(2n-2k)(2n-2k-1) \cdots (n-2k+1)}{k!(n-k)!}x^{n-2k}\\
&=\frac{1}{2^n} \displaystyle\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k(2n-2k)!}{k!(n-k)!(n-2k)!}x^{n-2k}\\
\end{alignat}ここで \(x\) の次数については \(n-2k \gt 0\) すなわち \(\displaystyle k \lt \frac{n}{2}\) でなければならないので

シグマの終点はガウス記号を用いて \(\displaystyle \left[\frac{n}{2}\right]\) となり$$=\frac{1}{2^n} \displaystyle\sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \frac{(-1)^k(2n-2k)!}{k!(n-k)!(n-2k)!}x^{n-2k}=P_{n}(x)$$よって、ロドリグの公式の右辺は \(P_n(x)\) に等しい。以上より$$P_{n}(x)=\frac{1}{2^nn!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n$$









\((2)\) 母関数の式の左辺を級数で表します。
\begin{alignat}{2}
\frac{1}{\sqrt{1-2tx+t^2}}&=\{1+(t^2-2tx)\}^{-\frac{1}{2}}\\
&=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{-\frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2}-1\right) \cdots \left(-\frac{1}{2}-k+1\right)}{k!} \cdot (t^2-2tx)^k\\
&=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2k-1)}{2^kk!}\cdot (t^2-2tx)^k\\
&=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^2}\cdot (t^2-2tx)^k\\
\end{alignat}\((2tx-t^2)^k\) について二項定理を用います。
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^2} \left\{\displaystyle\sum_{m=0}^k {}_k \mathrm{C}_m (2tx)^{k-m}(-t^2)^m\right\}\\
&=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(2k)!}{2^{2k}(k!)^2} \left\{\displaystyle\sum_{m=0}^k (-1)^m \cdot \frac{k!}{m!(k-m)!} \cdot 2^{k-m}x^{k-m}t^{k+m}\right\}\\
&=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} \displaystyle\sum_{m=0}^k (-1)^m \cdot \frac{(2k)!}{2^{k+m}m!k!(k-m)!}x^{k-m}t^{k+m}\\
\end{alignat}\(k=n-m\) と置いて \((A)\) の式を用います。
\begin{alignat}{2}
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \displaystyle\sum_{m=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]}(-1)^m \cdot \frac{(2n-2m)!}{2^{n}m!(n-m)!(n-2m)!}x^{n-2m}t^{n}\\
&=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left\{\frac{1}{2^n} \displaystyle\sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \frac{(-1)^m(2n-2m)!}{k!(n-m)!(n-2m)!}x^{n-2m}\right\}t^n=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} P_n(x)t^n
\end{alignat}以上より$$\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}}=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} P_n(x)t^n  (|x| \leq 1,\, |t| \lt 1)$$

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