ルジャンドルの微分方程式

「ルジャンドルの微分方程式」は次式で表されます。$$(1-x^2)y’’-2xy’+n(n+1)y=0  (n \in \mathrm{N})$$\(P_n(x)\) を「ルジャンドル多項式」、\(Q_n(x)\) を「第 \(2\) 種ルジャンドル関数」

及び、任意定数を \(C_1,C_2\) とすると、上記の微分方程式の解は$$y=C_1P_n(x)+C_2Q_n(x)$$となります。





















<証明>

微分方程式を満たす解が級数で表されるものとして解きます。すなわち$$y=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} a_kx^k,  y’=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} ka_kx^{k-1},  y’’=\displaystyle\sum_{k=2}^{\infty} k(k-1)a_kx^{k-2}$$を微分方程式に代入して、\(a_k\) を定めます。
\begin{alignat}{2}
(1-x^2)\displaystyle\sum_{k=2}^{\infty} k(k-1)a_kx^{k-2}-2x\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} ka_kx^{k-1}+n(n+1)\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} a_kx^k&=0\\
\displaystyle\sum_{k=2}^{\infty} k(k-1)a_kx^{k-2}-\displaystyle\sum_{k=2}^{\infty} k(k-1)a_kx^{k}-2\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} ka_kx^{k}+n(n+1)\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} a_kx^k&=0\\
\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} (k+2)(k+1)a_{k+2}x^{k}-\displaystyle\sum_{k=2}^{\infty} k(k-1)a_kx^{k}-2\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} ka_kx^{k}+n(n+1)\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} a_kx^k&=0\\
\end{alignat}全てのシグマのスタートを揃えます。
\begin{alignat}{2}
2a_2+6a_3x+\displaystyle\sum_{k=2}^{\infty} (k+2)(k+1)a_{k+2}x^{k}-\displaystyle\sum_{k=2}^{\infty} k(k-1)a_kx^{k}-2a_1x-2 \displaystyle\sum_{k=2}^{\infty} ka_kx^{k} +n(n+1)a_0+n(n+1)a_1x+n(n+1)\displaystyle\sum_{k=2}^{\infty} a_kx^k&=0\\
2a_2+n(n+1)a_0+\{6a_3-2a_1+n(n+1)a_1\}x+\displaystyle\sum_{k=2}^{\infty} \{(k+2)(k+1)a_{k+2}-k(k-1)a_k-2ka_k+n(n+1)a_k\}x^k&=0\\
\end{alignat}両辺を恒等的に見ることで、次式を得ます。
\begin{cases}
2a_2+n(n+1)a_0=0  &\cdots (A)\\
6a_3-2a_1+n(n+1)a_1=0  &\cdots (B)\\
(k+2)(k+1)a_{k+2}-k(k+1)a_k+n(n+1)a_k=0  &\cdots (C)\\
\end{cases}\((C)\) の式を変形します。
\begin{alignat}{2}
(k+2)(k+1)a_{k+2}&=-\{n(n+1)-k(k+1)\}a_k\\
a_{k+2}&=-\frac{n^2+n-k^2-k}{(k+2)(k+1)}a_k=-\frac{(n-k)(n+k)+(n-k)}{(k+2)(k+1)}a_k=-\frac{(n-k)(n+k+1)}{(k+2)(k+1)}a_k\\
\end{alignat}となり、次の漸化式を得ます。$$a_{k+2}=-\frac{(n-k)(n+k+1)}{(k+2)(k+1)}a_k$$この式で \(k=0\) のとき$$a_2=-\frac{n(n+1)}{2}a_0,  2a_2+n(n+1)a_0=0$$となり \((A)\) の式と一致します。

同様に \(k=1\) のとき$$a_3=-\frac{(n-1)(n+2)}{6}a_1,  6a_3-2a_1+n(n+1)a_1=0$$となり \((B)\) の式と一致します。


得られた漸化式は \(1\) つ飛ばしであるので、偶奇に分けて \(a_k\) を調べます。\((C)\) の式を用います。

\((α)\) \(k\) が偶数のとき

\(k=0\) のとき$$a_2=-\frac{n(n+1)}{2 \cdot 1}a_0=-\frac{n \cdot (n+1)}{2!}a_0$$
\(k=2\) のとき\begin{alignat}{2}
a_4&=-\frac{(n-2)(n+3)}{4 \cdot 3}a_2=\frac{(n-2)(n+3)}{4 \cdot 3} \cdot \frac{n \cdot (n+1)}{2!}a_0\\
&=\frac{n(n-2) \cdot (n+1)(n+3)}{4!}a_0\\
\end{alignat}\(k=4\) のとき\begin{alignat}{2}
a_6&=-\frac{(n-4)(n+5)}{6 \cdot 5}a_4=-\frac{(n-2)(n+3)}{4 \cdot 3} \cdot \frac{n(n-2) \cdot (n+1)(n+3)}{4!}a_0\\
&=-\frac{n(n-2)(n-4) \cdot (n+1)(n+3)(n+5)}{6!}a_0\\
&\\
&                  \cdots \\
\end{alignat}

\((β)\) \(k\) が奇数のとき

\(k=1\) のとき$$a_3=-\frac{(n-1)(n+2)}{3 \cdot 2}a_1=-\frac{(n-1) \cdot (n+2)}{3!}a_1$$
\(k=3\) のとき\begin{alignat}{2}
a_5&=-\frac{(n-3)(n+4)}{5 \cdot 4}a_3=\frac{(n-3)(n+4)}{5 \cdot 4} \cdot \frac{(n-1) \cdot (n+2)}{3!}a_1\\
&=\frac{(n-1)(n-3) \cdot (n+2)(n+4)}{5!}a_1\\
\end{alignat}\(k=5\) のとき\begin{alignat}{2}
a_7&=-\frac{(n-5)(n+7)}{7 \cdot 6}a_5=-\frac{(n-5)(n+6)}{7 \cdot 5} \cdot \frac{(n-1)(n-3) \cdot (n+2)(n+4)}{5!}a_1\\
&=-\frac{(n-1)(n-3)(n-5) \cdot (n+2)(n+4)(n+6)}{7!}a_1\\
&\\
&               \cdots \\
\end{alignat}


よって、解は次のように書けます。
\begin{alignat}{2}
y&=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty} a_kx^k=(a_0+a_2x^2+a_4x^4+ \cdots )+(a_1x+a_3x^3+a_5x^5+ \cdots) \\
&=a_0 \left\{1-\frac{n \cdot (n+1)}{2!}x^2+\frac{n(n-2) \cdot (n+1)(n+3)}{4!}x^4-\frac{n(n-2)(n-4) \cdot (n+1)(n+3)(n+5)}{6!}x^6+ \cdots \right\}\\
&     +a_1\left\{x-\frac{(n-1) \cdot (n+2)}{3!}x^3+\frac{(n-1)(n-3) \cdot (n+2)(n+4)}{5!}x^5-\frac{(n-1)(n-3)(n-5) \cdot (n+2)(n+4)(n+6)}{7!}x^7+ \cdots\right\}
\end{alignat}ここで、次のように \(u_n(x),\,v_n(x)\) を定めれば
\begin{alignat}{2}
&u_n(x)=1-\frac{n \cdot (n+1)}{2!}x^2+\frac{n(n-2) \cdot (n+1)(n+3)}{4!}x^4-\frac{n(n-2)(n-4) \cdot (n+1)(n+3)(n+5)}{6!}x^6+ \cdots\\
&v_n(x)=x-\frac{(n-1) \cdot (n+2)}{3!}x^3+\frac{(n-1)(n-3) \cdot (n+2)(n+4)}{5!}x^5-\frac{(n-1)(n-3)(n-5) \cdot (n+2)(n+4)(n+6)}{7!}x^7+ \cdots\\
\end{alignat}微分方程式の解は次式となります。$$y=a_0u_n(x)+a_1v_n(x)$$


ここで \(n\) が偶数や奇数のときを考えます。

\(n\) が偶数のとき、すなわち \(n=2m\) のとき \(u_{2m}(x)\) は有限級数であり(\(v_{2m}(x)\) は無限級数)$$u_{2m}(x)=1-\frac{2m(2m+1)}{2!}x^2+\frac{2m(2m-2) \cdot (2m+1)(2m+3)}{4!}x^4- \cdots +(-1)^m \cdot \frac{2m(2m-2) \cdots 4 \cdot 2 \cdot (2m+1)(2m+3) \cdots (4m-1)}{(2m)!}x^{2m}$$上記のような \(m+1\) 項の多項式であることが分かります。



\(n\) が奇数のとき、すなわち \(n=2m+1\) のとき \(v_{2m+1}(x)\) が有限級数であり(\(u_{2m+1}(x)\) は無限級数)$$v_{2m+1}(x)=x-\frac{2m(2m+3)}{3!}x^3+\frac{2m(2m-2) \cdot (2m+3)(2m+5)}{5!}x^5 – \cdots +(-1)^m \cdot \frac{2m(2m-2) \cdots 4 \cdot 2 \cdot (2m+3)(2m+3) \cdots (4m+1)}{(2m+1)!}x^{2m+1}$$同様に、上記のような \(m+1\) 項の多項式であることが分かります。






ところで、ルジャンドル多項式は次式で表されます。$$P_{n}(x)=\frac{1}{2^n}\displaystyle\sum_{k=0}^{\left[\frac{n}{2}\right]} \frac{(-1)^k(2n-2k)!}{k!(n-k)!(n-2k)!}x^{n-2k}$$
上記のルジャンドル多項式において \(n=2m\) のとき$$P_{2m}(x)=\frac{1}{2^{2m}}\displaystyle\sum_{k=0}^{m} \frac{(-1)^k(4m-2k)!}{k!(2m-k)!(2m-2k)!}x^{2m-2k}$$上記のルジャンドル多項式において \(n=2m+1\) のとき$$P_{2m+1}(x)=\frac{1}{2^{2m+1}}\displaystyle\sum_{k=0}^{m} \frac{(-1)^k(4m+2-2k)!}{k!(2m+1-k)!(2m+1-2k)!}x^{2m+1-2k}$$
これらを踏まえて \(u_{2m}(x)\) と \(v_{2m+1}(x)\) を変形します。

\((A)\) 多項式を逆から並べなおします。
\begin{alignat}{2}
u_{2m}(x)&=(-1)^m \cdot \frac{2m(2m-2) \cdots 4 \cdot 2 \cdot (2m+1)(2m+3) \cdots (4m-1)}{(2m)!}x^{2m}+ \cdots \\
&        \cdots +\frac{2m(2m-2) \cdot (2m+1)(2m+3)}{4!}x^4-\frac{2m(2m+1)}{2!}x^2+1\\
\end{alignat}\(\displaystyle (-1)^m \cdot \frac{(2m)!!}{2^{2m}(2m-1)!!}\) で括ります。
\begin{alignat}{2}
u_{2m}(x)&=(-1)^m \cdot \frac{(2m)!!}{2^{2m}(2m-1)!!} \bigg\{ \frac{(4m)!}{0!(2m)!(2m)!}x^{2m}-\frac{(4m-2)!}{1!(2m-1)!(2m-2)!}x^{2m}+ \cdots \\
&        \cdots +(-1)^{m-1} \cdot \frac{(2m+2)!}{(m-1)!(m+1)!2!}x^2+(-1)^m \cdot \frac{(2m)!}{m!m!0!}\bigg\}\\
\end{alignat}中括弧内の式をシグマで表します。
\begin{alignat}{2}
&=(-1)^m \cdot \frac{(2m)!!}{(2m-1)!!} \cdot \frac{1}{2^{2m}}\left\{\displaystyle\sum_{k=0}^{m} \frac{(-1)^k(4m-2k)!}{k!(2m-k)!(2m-2k)!}x^{2m-2k}\right\}\\
&=(-1)^m \cdot \frac{(2m)!!}{(2m-1)!!}P_{2m}(x)\\
\end{alignat}


\((B)\) 多項式を逆から並べなおします。
\begin{alignat}{2}
v_{2m+1}(x)&=(-1)^m \cdot \frac{2m(2m-2) \cdots 4 \cdot 2 \cdot (2m+3)(2m+5) \cdots (4m+1)}{(2m+1)!}x^{2m+1}+ \cdots \\
&        \cdots +\frac{2m(2m-2) \cdot (2m+3)(2m+5)}{5!}x^5-\frac{2m(2m+3)}{2!}x^3+x\\
\end{alignat}\(\displaystyle (-1)^m \cdot \frac{(2m)!!}{2^{2m+1}(2m+1)!!}\) で括ります。
\begin{alignat}{2}
v_{2m+1}(x)&=(-1)^m \cdot \frac{(2m)!!}{2^{2m+1}(2m+1)!!} \bigg\{ \frac{(4m+2)!}{0!(2m+1)!(2m+1)!}x^{2m+1}-\frac{(4m)!}{1!(2m)!(2m-1)!}x^{2m-1}+ \cdots \\
&        \cdots +(-1)^{m-1} \cdot \frac{(2m+4)!}{(m-1)!(m+2)!3!}x^3+(-1)^m \cdot \frac{(2m+2)!}{m!(m+1)!1!}x\bigg\}\\
\end{alignat}中括弧内の式をシグマで表します。
\begin{alignat}{2}
&=(-1)^m \cdot \frac{(2m)!!}{(2m+1)!!} \cdot \frac{1}{2^{2m+1}}\left\{\displaystyle\sum_{k=0}^{m} \frac{(-1)^k(4m+2-2k)!}{k!(2m+1-k)!(2m+1-2k)!}x^{2m+1-2k}\right\}\\
&=(-1)^m \cdot \frac{(2m)!!}{(2m+1)!!}P_{2m+1}(x)\\
\end{alignat}



よって \(u_{2m}(x)\) と \(v_{2m+1}(x)\) は、

次のように「ルジャンドル多項式」を用いて書くこと出来ます。
\begin{cases}
\displaystyle u_{2m}(x)=(-1)^m \cdot \frac{(2m)!!}{(2m-1)!!}P_{2m}(x)\\
\displaystyle v_{2m+1}(x)=(-1)^m \cdot \frac{(2m)!!}{(2m+1)!!}P_{2m+1}(x)\\
\end{cases}

一方、無限級数の方は「第 \(2\) 種ルジャンドル関数」と呼ばれ \(Q_n(x)\) で表されます。



以上を踏まえて、得られた微分方程式の解$$y=a_1u_n(x)+a_2v_n(x)$$について、定数は新たに \(C_1,\,C_2\) と置いて、全ての係数を受け持つことにすれば

\((C)\) \(n=2m\) のときは$$y=C_1P_{2m}(x)+C_2Q_{2m}(x)$$

\((D)\) \(n=2m+1\) のときは$$y=C_1Q_{2m+1}(x)+C_2P_{2m+1}(x)$$

よって \(n\) の偶奇に拘らず、微分方程式$$(1-x^2)y’’-2xy’+n(n+1)y=0  (n \in \mathrm{N})$$は「ルジャンドル多項式」と「第 \(2\) 種ルジャンドル関数」を解に持つことが分かります。

以上より、上記の微分方程式の解は$$y=C_1P_n(x)+C_2Q_n(x)$$

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